Introduzione: quando il caso diventa matematica
La probabilità è il modo in cui la matematica misura ciò che potrebbe accadere, trasformando l'incertezza in numeri che possiamo confrontare e usare.
Ogni giorno facciamo previsioni senza accorgercene, quando guardiamo il cielo per capire se pioverà oppure quando scegliamo una carta da un mazzo coperto. In tutti questi momenti entra in gioco il caso, cioè quella forza misteriosa che decide il risultato di una situazione non ancora avvenuta. La matematica ha inventato un linguaggio speciale per parlare del caso, e questo linguaggio si chiama probabilità. Studiare la probabilità significa imparare a guardare il futuro con occhi più attenti, riconoscendo quanto è facile o difficile che una certa cosa accada. In questa scheda scopriremo come trasformare situazioni quotidiane in piccoli calcoli che ci aiutano a prevedere meglio.
Che cos'è un evento
In matematica chiamiamo evento qualunque fatto che possa accadere come risultato di una prova, per esempio il lancio di una moneta oppure l'estrazione di una pallina da un sacchetto. Un evento può essere semplicissimo, come ottenere il numero 3 lanciando un dado, oppure più articolato, come ottenere un numero pari sempre con lo stesso dado. La parola chiave è possibilità, perché un evento descrive sempre qualcosa che potrebbe verificarsi, non qualcosa di sicuro. Immagina di avere una scatola con cinque caramelle alla fragola e tre al limone: l'evento "pesco una caramella alla fragola" è uno dei due possibili risultati. Gli eventi possono essere certi quando accadono sempre, impossibili quando non accadono mai, oppure incerti quando potrebbero accadere o non accadere. Riconoscere bene di che tipo è un evento è il primo passo per ragionare correttamente sulla probabilità.
Casi favorevoli e casi possibili
Per misurare quanto è probabile un evento dobbiamo contare due cose con molta attenzione: i casi favorevoli e i casi possibili. I casi possibili sono tutti i risultati che la prova può dare, mentre i casi favorevoli sono soltanto quelli che corrispondono all'evento che ci interessa davvero. La frazione che esprime la probabilità si scrive mettendo al numeratore i casi favorevoli e al denominatore i casi possibili, ottenendo così un numero compreso fra 0 e 1. Pensa al lancio di un dado normale a sei facce: se vuoi calcolare la probabilità di ottenere un numero maggiore di 4, i casi favorevoli sono due, cioè il 5 e il 6, mentre i casi possibili rimangono sei. La probabilità sarà quindi 2/6, che possiamo anche semplificare in 1/3. Questo significa che, ripetendo molte volte il lancio, ci aspettiamo di ottenere un numero maggiore di 4 circa una volta ogni tre tentativi.
Eventi che non possono accadere insieme
Alcuni eventi sono fatti in modo che, se accade uno, automaticamente l'altro non può verificarsi nella stessa prova, e per questo li chiamiamo eventi disgiunti. Pensa a un'urna che contiene venti palline numerate da 1 a 20: l'evento "esce un numero pari" e l'evento "esce il numero 7" non possono accadere insieme, perché il 7 è dispari. Quando due eventi sono disgiunti, la matematica ci permette di calcolare la probabilità che si verifichi l'uno oppure l'altro semplicemente sommando le loro probabilità. Questa regola è molto utile, perché ci evita di rifare ogni volta tutto il conteggio dei casi favorevoli quando vogliamo unire più possibilità. Per esempio, lanciando un dado, la probabilità di ottenere 1 è 1/6 e la probabilità di ottenere 6 è ancora 1/6, quindi la probabilità di ottenere 1 oppure 6 sarà 1/6 + 1/6, cioè 2/6. Attenzione però: questa somma funziona solo se gli eventi non hanno alcun risultato in comune, altrimenti rischieremmo di contare due volte lo stesso caso.
Un esempio completo dalla vita di tutti i giorni
Immagina di avere un astuccio con dodici matite colorate: quattro rosse, tre blu, due verdi, due gialle e una nera, tutte mescolate al buio. Vuoi calcolare la probabilità di pescare una matita rossa oppure una matita verde senza guardare dentro l'astuccio. Per prima cosa osservi che i due eventi sono incompatibili, perché una matita non può essere contemporaneamente rossa e verde, quindi puoi applicare la regola della somma. La probabilità di pescare una matita rossa è 4/12, mentre la probabilità di pescare una matita verde è 2/12, perché i casi possibili totali sono sempre dodici. Sommando le due probabilità ottieni 4/12 + 2/12, cioè 6/12, che possiamo semplificare in 1/2. Questo risultato ci dice che hai esattamente una possibilità su due di pescare una matita rossa o verde, proprio come quando lanci una moneta e aspetti che esca testa.
Ricorda
- Un evento è un fatto che può accadere come risultato di una prova ed è descritto da casi favorevoli e casi possibili.
- La probabilità si calcola con la frazione casi favorevoli diviso casi possibili e si trova sempre tra 0 e 1.
- Due eventi si dicono disgiunti quando non possono verificarsi insieme nella stessa prova.
- Per eventi disgiunti, la probabilità che accada l'uno oppure l'altro si ottiene sommando le loro singole probabilità.
- Piccolo esercizio: in un sacchetto ci sono 10 caramelle, di cui 3 al cioccolato, 4 alla menta e 3 alla fragola; qual è la probabilità di pescarne una al cioccolato oppure una alla fragola? La risposta corretta è 6/10, cioè 3/5.