Un'espressione è una catena di operazioni che si risolve seguendo un ordine preciso: prima le parentesi, poi le potenze, poi moltiplicazioni e divisioni, infine addizioni e sottrazioni.
In matematica un'espressione è una scrittura che mette insieme numeri e operazioni diverse, come addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni e potenze. Quando dobbiamo calcolarla, non possiamo procedere a caso o leggerla semplicemente da sinistra a destra come una frase. Esiste infatti una regola condivisa da tutti i matematici del mondo che stabilisce in quale ordine eseguire i calcoli. Questa regola serve a far sì che, partendo dalla stessa espressione, chiunque ottenga sempre lo stesso risultato finale. Senza un ordine prestabilito, due bambini potrebbero calcolare 4 + 3 × 2 e ottenere uno 14 e l'altro 10, ma soltanto una delle due risposte è corretta. Imparare a rispettare l'ordine delle operazioni significa quindi parlare la stessa lingua matematica di tutti.
L'ordine delle operazioni
La regola fondamentale per risolvere qualsiasi espressione si riassume in quattro livelli di priorità che vanno applicati sempre nello stesso modo. Al primo posto vengono le parentesi, perché racchiudono calcoli che devono essere risolti prima di poter andare avanti. Subito dopo si calcolano le potenze, che rappresentano moltiplicazioni ripetute e perciò hanno una forza maggiore. Al terzo livello troviamo moltiplicazioni e divisioni, che hanno la stessa importanza e si eseguono nell'ordine in cui compaiono da sinistra verso destra. Solo alla fine arrivano addizioni e sottrazioni, anch'esse equivalenti tra loro e da svolgere nell'ordine in cui si incontrano. Per esempio, nell'espressione 20 − 2 × 3² + 1 calcoliamo prima 3² = 9, poi 2 × 9 = 18, infine 20 − 18 + 1 = 3, procedendo da sinistra a destra nelle ultime due operazioni.
Le parentesi e i passaggi ordinati
Le parentesi sono dei veri e propri segnali stradali dentro l'espressione e ci dicono quali calcoli hanno la precedenza assoluta. Nelle espressioni della scuola primaria si usano soprattutto le parentesi tonde ( ), ma talvolta compaiono anche le quadre [ ] e le graffe { } per organizzare calcoli più lunghi. La regola è semplice e va imparata bene: si risolvono prima quelle più interne, cioè le tonde, poi le quadre, infine le graffe, eliminandole una alla volta mano a mano che diventano inutili. Per non sbagliare conviene riscrivere l'espressione a ogni passaggio, copiando con cura i numeri e i segni che non sono ancora stati toccati. In questo modo l'espressione diventa più corta e più semplice a ogni riga, fino ad arrivare al risultato finale. Un piccolo trucco utile è sottolineare con la matita il pezzo che si sta per calcolare, così non si perde mai il filo.
Ricorda
- L'ordine corretto è sempre: parentesi, potenze, moltiplicazioni e divisioni, addizioni e sottrazioni; tra operazioni dello stesso livello si procede da sinistra a destra.
- Le parentesi si sciolgono dalla più interna alla più esterna: prima ( ), poi [ ], infine { }.
- A ogni passaggio riscrivi l'intera espressione sostituendo solo la parte appena calcolata: ti aiuterà a non saltare numeri e a non confondere i segni.
Esercizio attivo sul quaderno: copia e risolvi passo dopo passo l'espressione 15 + [ (4 × 3) − 2² ] × 2, scrivendo una riga per ogni passaggio e cerchiando il calcolo che esegui. Il risultato che devi ottenere è 31: confronta con un compagno e spiegategli a voce perché hai svolto i calcoli proprio in quell'ordine.