Le frazioni equivalenti sono frazioni che hanno forme diverse ma rappresentano sempre la stessa quantità: imparare a riconoscerle e a costruirle è una competenza chiave della classe quarta.
Che cosa significa equivalente
La parola equivalente viene dal latino e significa letteralmente che ha lo stesso valore. Due frazioni si dicono equivalenti quando, pur essendo scritte con numeri diversi, indicano la stessa porzione di un intero. Pensa a una tavoletta di cioccolato divisa in 4 parti uguali, di cui ne mangi 2: hai mangiato 2/4 della tavoletta. Se la stessa tavoletta fosse stata divisa in 8 pezzettini, e tu ne avessi mangiati 4, avresti mangiato 4/8, cioè esattamente la stessa quantità di cioccolato. Le scritture 2/4 e 4/8 sono diverse, ma il cioccolato mangiato è proprio lo stesso, quindi diciamo che 2/4 e 4/8 sono frazioni equivalenti. Lo stesso accade con una pizza tagliata in 6 fette, di cui ne prendi 3: i 3/6 della pizza coincidono perfettamente con 1/2 della pizza intera.
La rappresentazione con i disegni
Un ottimo modo per capire l'equivalenza è disegnare le frazioni e confrontarle a colpo d'occhio. Prendi due strisce di carta lunghe uguali: dividi la prima in 3 parti uguali e coloranne 1, poi dividi la seconda in 6 parti uguali e colorane 2. Se sovrapponi le due strisce, noterai che la parte colorata occupa esattamente lo stesso spazio: hai appena verificato visivamente che 1/3 e 2/6 sono frazioni equivalenti. Un altro esempio utile è quello del bicchiere d'acqua: se riempi mezzo bicchiere, puoi dire che hai 1/2 di bicchiere oppure 2/4 oppure 3/6, perché il livello dell'acqua resta sempre lo stesso. Disegnare aiuta moltissimo all'inizio, perché trasforma i numeri in immagini concrete che gli occhi riconoscono subito.
La regola della moltiplicazione
Per ottenere una frazione equivalente a una frazione data basta moltiplicare il numeratore e il denominatore per uno stesso numero, diverso da zero. Questa è la prima regola fondamentale e si applica sempre nello stesso modo, semplice ed elegante. Vediamola con un caso concreto: partiamo da 2/3 e moltiplichiamo sia sopra sia sotto per 4; otteniamo 8/12, che è equivalente a 2/3 perché abbiamo agito allo stesso modo su entrambi i termini. I passi da seguire sono questi:
- Scegli un numero qualunque, per esempio 5.
- Moltiplica il numeratore della frazione di partenza per 5.
- Moltiplica anche il denominatore per lo stesso 5.
- Scrivi la nuova frazione: avrai ottenuto una frazione equivalente.
Prova con 1/4: moltiplicando per 3 ottieni 3/12, e infatti un quarto di torta corrisponde proprio a tre dodicesimi di quella stessa torta tagliata più fine.
La regola della divisione
C'è anche un secondo modo, opposto al primo, per costruire frazioni equivalenti: la divisione. Quando il numeratore e il denominatore hanno un divisore comune, possiamo dividere entrambi per quello stesso numero e otteniamo una frazione equivalente più semplice. Per esempio, partiamo da 6/9: il 3 è un divisore comune, quindi dividendo numeratore e denominatore per 3 otteniamo 2/3, che è una scrittura più snella della stessa quantità. Un altro esempio quotidiano è 10/20, che rappresenta dieci pezzi su venti totali: dividendo entrambi i numeri per 10 otteniamo subito 1/2, una scrittura immediata e chiara. Questa operazione si chiama anche semplificazione, perché serve a rendere la frazione più facile da leggere e da utilizzare nei calcoli. Attenzione però: si può dividere soltanto quando esiste davvero un divisore comune tra numeratore e denominatore.
Perché la regola funziona
La regola funziona perché moltiplicare o dividere sopra e sotto per uno stesso numero equivale a moltiplicare la frazione per 1, che è l'elemento neutro della moltiplicazione. Infatti, frazioni come 2/2, 3/3 oppure 5/5 valgono tutte 1, quindi moltiplicare per esse non cambia il risultato finale. È un po' come cambiare il modo di tagliare una mela: se la dividi in 4 spicchi o in 8 spicchi più piccoli, la quantità totale di mela resta sempre quella, soltanto il taglio è diverso. Lo stesso accade quando passi da 1/2 a 5/10 di una pizza: hai semplicemente cambiato la dimensione delle fette, ma la porzione totale di pizza non è cambiata di un millimetro. Capire questo principio aiuta a non confondere mai più la semplificazione con un'operazione che cambia la quantità rappresentata.
Come verificare se due frazioni sono equivalenti
A volte ci troviamo davanti a due frazioni e dobbiamo decidere se sono equivalenti oppure no. Un metodo molto pratico è il prodotto in croce: si moltiplica il numeratore della prima per il denominatore della seconda e il denominatore della prima per il numeratore della seconda; se i due prodotti coincidono, le frazioni sono equivalenti. Vediamolo con 3/5 e 9/15: il prodotto in croce dà 3×15=45 e 5×9=45, i due risultati sono uguali, quindi le due frazioni sono davvero equivalenti e parlano della stessa misura. Proviamo invece con 2/3 e 5/9: otteniamo 2×9=18 e 3×5=15, i risultati sono diversi, perciò le due frazioni non sono equivalenti. Questo controllo è veloce, sicuro e si può fare con qualsiasi coppia di frazioni che incontri.
Costruire una famiglia di frazioni equivalenti
Partendo da una sola frazione possiamo costruire un'intera famiglia di frazioni equivalenti, tutte fra loro intercambiabili. Prendiamo 1/2 come capostipite e moltiplichiamo numeratore e denominatore prima per 2, poi per 3, poi per 4 e così via: otteniamo la famiglia 1/2, 2/4, 3/6, 4/8, 5/10, 6/12, una bella catena infinita di scritture diverse. Tutte queste frazioni rappresentano esattamente metà di un intero, sia che si parli di una mela, di un litro d'acqua o di un'ora di tempo libero. Anche partendo da 2/5 possiamo costruire la sua famiglia: 2/5, 4/10, 6/15, 8/20, 10/25, e ognuna corrisponde alla stessa porzione di torta o di strada percorsa. Conoscere queste famiglie è utilissimo quando dovremo confrontare frazioni o sommarle fra loro, perché ci permetterà di scegliere la scrittura più comoda al momento giusto.
Ricorda
Fissa nella memoria questi punti chiave, che riassumono tutto ciò che hai imparato:
- Due frazioni sono equivalenti se rappresentano la stessa quantità dell'intero.
- Per costruire una frazione equivalente moltiplica numeratore e denominatore per lo stesso numero diverso da zero.
- Puoi anche dividere numeratore e denominatore per uno stesso divisore comune (semplificazione).
- Per verificare l'equivalenza usa il prodotto in croce: se i due prodotti sono uguali, le frazioni sono equivalenti.
- Da ogni frazione puoi generare una famiglia infinita di frazioni equivalenti.
Piccolo esercizio di verifica da svolgere sul quaderno: scrivi la frazione 3/4 e accanto costruisci almeno quattro frazioni equivalenti, una moltiplicando per 2, una per 3, una per 5 e una per 10. Poi verifica con il prodotto in croce che 3/4 e 9/12 siano davvero equivalenti, scrivendo per esteso i due prodotti e confrontandoli. Infine prova a semplificare 12/16 dividendo numeratore e denominatore per 4 e controlla che il risultato sia proprio 3/4.