Introduzione
Le frazioni equivalenti sono frazioni che, pur scritte con numeri diversi, rappresentano la stessa identica quantità di una cosa intera.
Immagina di tagliare una pizza in due parti uguali e di mangiarne una: hai mangiato 1/2 della pizza, cioè metà. Ora immagina che la stessa pizza, invece, sia stata tagliata in quattro fette uguali e tu ne abbia mangiate due: hai mangiato 2/4 della pizza. Anche se i numeri sono diversi, la quantità di pizza nella tua pancia è esattamente la stessa, perché 1/2 e 2/4 indicano la stessa porzione dell'intero. Frazioni come queste, che descrivono la medesima parte di un intero usando numeri differenti, si chiamano frazioni equivalenti. In questa scheda scopriremo insieme come riconoscerle, come costruirle e come usarle nei problemi di tutti i giorni con sicurezza.
Cosa significa "equivalenti"
La parola "equivalente" deriva dal latino e significa "che vale ugualmente", cioè qualcosa che ha lo stesso valore di un'altra cosa pur avendo un aspetto diverso. Nelle frazioni questo concetto è fondamentale, perché ci permette di scrivere la stessa quantità in tanti modi differenti a seconda delle situazioni. Pensa a una tavoletta di cioccolato divisa in 6 quadretti: se ne mangi 3, hai mangiato 3/6 della tavoletta, che corrisponde esattamente alla metà, cioè 1/2. Le due frazioni 1/2 e 3/6 sono equivalenti perché rappresentano la stessa porzione, anche se il taglio della tavoletta è stato fatto in modo diverso. Capire questa idea ci aiuta a confrontare frazioni che sembrano molto diverse a prima vista ma che in realtà hanno lo stesso valore.
La regola della moltiplicazione
Per costruire una frazione equivalente a una frazione data, possiamo moltiplicare il numeratore e il denominatore per uno stesso numero diverso da zero, e otteniamo subito una nuova frazione che vale come quella di partenza. Prendiamo per esempio la frazione 2/3 e proviamo a moltiplicare sopra e sotto per 2: otteniamo 4/6, che è equivalente a 2/3 perché rappresenta la stessa quantità dell'intero. Se invece moltiplichiamo numeratore e denominatore per 3, otteniamo 6/9, anch'essa equivalente alle precedenti. La regola pratica si può riassumere così:
- Scegli un numero qualsiasi diverso da zero, ad esempio 2, 3, 4 oppure 5.
- Moltiplica il numeratore per quel numero e scrivi il risultato sopra la linea.
- Moltiplica il denominatore per lo stesso numero e scrivi il risultato sotto la linea.
- Controlla che il numero scelto sia identico per il numeratore e per il denominatore.
Questo procedimento funziona perché stiamo soltanto tagliando ogni fetta in pezzi più piccoli, senza cambiare la quantità totale che la frazione rappresenta.
La regola della divisione
A volte possiamo fare anche l'operazione contraria, cioè dividere il numeratore e il denominatore per uno stesso numero, ottenendo una frazione equivalente più semplice e più facile da leggere. Questa strada è possibile solo quando sopra e sotto la linea ci sono numeri che si possono dividere esattamente per lo stesso divisore, senza lasciare resti. Per esempio, prendiamo la frazione 8/12 e proviamo a dividere numeratore e denominatore per 4: otteniamo 2/3, che è equivalente alla frazione di partenza ma usa numeri più piccoli. Possiamo immaginare la situazione con una torta divisa in 12 fette di cui ne prendiamo 8: è la stessa cosa che dividere la torta in 3 parti e prenderne 2. Quando una frazione non si può più dividere ulteriormente, diciamo che è stata ridotta ai minimi termini, ed è la sua forma più chiara e ordinata.
Come verificare se due frazioni sono equivalenti
Quando ci troviamo davanti a due frazioni e vogliamo capire se rappresentano la stessa quantità, possiamo usare un trucco molto utile chiamato prodotto in croce, oppure provare a semplificarle entrambe fino alla forma più ridotta. Il prodotto in croce funziona così: moltiplichiamo il numeratore della prima frazione per il denominatore della seconda e poi il denominatore della prima per il numeratore della seconda. Se i due risultati sono uguali, allora le frazioni sono certamente equivalenti, altrimenti rappresentano quantità diverse. Vediamo un esempio concreto con le frazioni 3/4 e 9/12, che potrebbero sembrare diverse a prima vista:
- Calcoliamo il primo prodotto incrociato: 3 moltiplicato per 12 dà come risultato 36.
- Calcoliamo il secondo prodotto incrociato: 4 moltiplicato per 9 dà come risultato 36.
- Confrontiamo i due risultati ottenuti e notiamo che sono perfettamente uguali tra loro.
- Possiamo quindi concludere con sicurezza che 3/4 e 9/12 sono frazioni equivalenti.
Questo controllo è molto rapido e ci aiuta a non sbagliare quando dobbiamo confrontare le frazioni nei problemi di matematica.
Ricorda
Per fissare bene le idee, teniamo a mente i punti più importanti che abbiamo imparato in questa scheda sulle frazioni equivalenti. Le frazioni equivalenti sono frazioni diverse nella scrittura ma uguali nel valore, perché indicano la stessa porzione dell'intero. Per costruirle basta moltiplicare oppure dividere numeratore e denominatore per uno stesso numero diverso da zero, ottenendo così una nuova frazione che vale esattamente come quella di partenza. Per controllare se due frazioni sono equivalenti possiamo usare il prodotto in croce, che dà risultati uguali quando le frazioni rappresentano la stessa quantità. Ora prova tu con questo piccolo esercizio: scrivi tre frazioni equivalenti a 1/4 usando la regola della moltiplicazione, poi verifica con la torta o la pizza disegnata sul quaderno che rappresentino davvero la stessa quantità.