I poligoni sono figure piane chiuse formate da segmenti: imparare a riconoscerli, contarne lati e angoli e distinguere quelli regolari ti aiuterà a osservare la geometria nascosta in tante cose intorno a te.
Che cos'è un poligono
In geometria un poligono è una figura piana delimitata da una linea spezzata chiusa, cioè da una serie di segmenti che si uniscono uno dopo l'altro senza incrociarsi e tornano al punto di partenza. Ogni segmento prende il nome di lato, mentre il punto in cui due lati si incontrano si chiama vertice. Negli angoli interni si forma una piccola apertura tra due lati che si toccano in un vertice, e proprio gli angoli sono uno degli indizi più importanti per riconoscere il tipo di poligono. Perché una figura sia davvero un poligono non bastano i segmenti: la linea deve essere chiusa, senza buchi né sovrapposizioni, e i lati non devono mai incrociarsi tra loro. Pensa, ad esempio, alla cornice di una finestra rettangolare oppure al contorno di un foglio da disegno appoggiato sul banco: entrambi sono poligoni perché nascono da segmenti uniti in modo ordinato. Al contrario, un cerchio o una mezza luna non sono poligoni perché il loro contorno è una linea curva e non spezzata.
Lati, vertici e angoli: i tre ingredienti
Ogni poligono ha sempre lo stesso numero di lati, vertici e angoli, ed è proprio questa corrispondenza che permette di contarli con facilità. Se osservi un triangolo, scoprirai tre lati, tre vertici e tre angoli interni, mentre in un quadrilatero quattro lati corrispondono a quattro vertici e quattro angoli. Questa regola di corrispondenza ti torna utile come trucco veloce: per sapere quanti angoli ha una figura, basta contare i lati. I lati possono essere lunghi uguali oppure diversi, dritti come le aste di una bandiera o inclinati come i ramoscelli di un aquilone. Gli angoli, invece, possono essere stretti come la punta di una matita oppure ben aperti come le braccia spalancate, e il loro valore in gradi descrive quanto i due lati si allontanano. Quando confronti due poligoni, prova a guardare prima i lati per contarli, poi gli angoli per capire se la figura è alta e snella oppure larga e schiacciata.
I nomi dei poligoni secondo il numero di lati
I poligoni ricevono il loro nome dal numero di lati che possiedono, e questi nomi nascono quasi tutti da parole antiche greche che indicano proprio una quantità. Un poligono di tre lati si chiama triangolo, di quattro lati quadrilatero, di cinque lati pentagono, di sei esagono, di sette ettagono, di otto ottagono, di nove ennagono e di dieci decagono. Conoscere questi nomi è una piccola mappa che ti aiuta a orientarti tra tante figure diverse, dalle più semplici alle più complesse. Per esempio, il segnale stradale di stop che vedi all'incrocio ha otto lati ed è perciò un ottagono, mentre la classica forma a nido d'ape che disegnano le api con la cera ha sei lati ed è un esagono. Quando ti capita di osservare una figura nuova, conta i lati uno per uno appoggiando la matita su ciascuno: in questo modo non rischi di ripetere o saltare un segmento. Sapere il nome esatto è importante perché ti permette di descrivere ciò che vedi con precisione, proprio come usare il nome giusto delle persone.
Poligoni regolari e irregolari
Un poligono si dice regolare quando ha tutti i lati della stessa lunghezza e tutti gli angoli uguali fra loro: queste due condizioni devono valere insieme, non basta soltanto una. Se invece anche un solo lato è più corto degli altri, oppure un angolo è più stretto o più aperto, allora il poligono è irregolare. La regolarità dà alle figure un aspetto armonioso, ordinato, perfettamente bilanciato, come si vede in un fiocco di neve disegnato al microscopio. Un triangolo con tre lati di otto centimetri è regolare e si chiama anche equilatero, mentre un triangolo con due lati corti e uno lungo è irregolare. Allo stesso modo, la mattonella quadrata del pavimento della cucina è regolare perché lati e angoli sono identici, mentre un aquilone a forma di rombo allungato non lo è, anche se è bello a vedersi. I poligoni regolari sono molto utili nell'arte, nel design e in natura perché incastrandosi tra loro riescono a riempire spazi senza lasciare buchi.
Poligoni convessi e concavi
Oltre alla regolarità, un altro modo per classificare i poligoni è guardare la loro forma generale: esistono poligoni convessi e poligoni concavi. Un poligono è convesso quando, prolungando ciascun lato con la mente, nessuna parte della figura resta tagliata fuori: tutti i vertici puntano verso l'esterno. Un poligono è concavo, invece, quando almeno un vertice rientra verso l'interno creando una piccola rientranza, come se la figura avesse un'ammaccatura. Per capire se una figura è concava puoi immaginare di tendere un elastico attorno ai suoi vertici: se l'elastico tocca tutti i vertici, è convessa, se invece alcuni restano dentro, è concava. La forma di una stella a cinque punte disegnata sul quaderno è un esempio di poligono concavo, perché tra una punta e l'altra c'è sempre una rientranza. Un esempio di figura convessa, invece, è il fronte di una busta da lettera: tutti i suoi vertici sporgono in fuori senza incavi.
La somma degli angoli e altre piccole regole
Gli angoli interni di un poligono nascondono regolarità sorprendenti che i matematici hanno scoperto da molto tempo. In un triangolo qualsiasi, ad esempio, la somma dei tre angoli interni è sempre 180°, anche se i lati hanno lunghezze molto diverse. In un quadrilatero qualunque, invece, la somma dei quattro angoli interni è sempre 360°, e puoi verificarlo dividendo la figura in due triangoli con una diagonale. Questa regolarità è davvero sorprendente: vale per qualsiasi triangolo o quadrilatero, grande o piccolo che sia, sottile o tozzo. Nei poligoni regolari, inoltre, ogni angolo interno ha sempre lo stesso valore: in un quadrato è di 90°, in un triangolo equilatero di 60°, in un esagono regolare di 120°. Queste piccole leggi geometriche aiutano architetti e ingegneri a disegnare ponti, finestre, pavimenti e tante altre costruzioni della vita quotidiana.
Perimetro: la lunghezza del contorno
Il perimetro di un poligono è la misura totale del suo contorno, cioè la somma delle lunghezze di tutti i lati. Per calcolarlo basta misurare ogni lato con il righello, scrivere i numeri ottenuti uno accanto all'altro e infine sommarli con cura. Nei poligoni irregolari devi proprio sommare lato per lato, mentre nei poligoni regolari puoi usare una scorciatoia elegante: moltiplichi la lunghezza di un lato per il numero dei lati. Per esempio, un pentagono regolare con il lato di sette centimetri ha un perimetro di 7 × 5 = 35 centimetri, e il calcolo è velocissimo. Allo stesso modo, una cornice rettangolare per una foto, con due lati lunghi 20 cm e due lati lunghi 15 cm, ha un perimetro di 20 + 15 + 20 + 15 = 70 centimetri. Saper calcolare il perimetro è utilissimo nella vita di tutti i giorni, ad esempio quando devi comprare la cornice giusta per un quadro o la recinzione di un orto.
I poligoni intorno a noi
Se ti guardi attorno con attenzione scoprirai che i poligoni sono dappertutto e ognuno racconta una piccola storia geometrica. Il pannello di un alveare è formato da tantissimi esagoni regolari uniti tra loro, perché questa forma permette alle api di sfruttare al massimo lo spazio. La forma del pallone da calcio classico è ricoperta da pentagoni e esagoni cuciti insieme, un modo davvero astuto per costruire una superficie quasi sferica. Anche le mattonelle del pavimento, i fogli dei quaderni, le tessere di una scacchiera e i segnali stradali sono poligoni di tipo diverso. Persino i cristalli del sale visti al microscopio formano piccolissimi cubi le cui facce sono quadrati perfetti. Osservare la geometria del mondo ti aiuta a capire che la matematica non è chiusa nei libri, ma vive nella natura, nelle case e in mille oggetti della vita quotidiana.
Ricorda
- Un poligono è una figura piana chiusa formata da segmenti chiamati lati che non si incrociano.
- Il numero di lati è sempre uguale al numero di vertici e di angoli.
- I poligoni prendono il nome dai lati: triangolo, quadrilatero, pentagono, esagono, ettagono, ottagono, ennagono, decagono.
- Un poligono è regolare quando ha tutti i lati uguali e tutti gli angoli uguali; se manca anche una sola di queste condizioni è irregolare.
- Un poligono è convesso se non ha rientranze, concavo se ha almeno una rientranza.
- Il perimetro è la somma delle lunghezze dei lati; nei poligoni regolari si calcola moltiplicando il lato per il numero dei lati.
Piccolo esercizio di verifica: prendi il tuo quaderno e disegna con il righello un pentagono regolare con il lato di 4 cm e un esagono irregolare a piacere. Scrivi accanto a ciascuna figura il suo nome, indica quanti vertici e quanti angoli ha, poi calcola il perimetro del pentagono regolare mostrando il calcolo. Infine, rispondi: la figura che hai disegnato è convessa o concava? Spiega in una frase il perché.