Svolgi gli esercizi seguenti sul quaderno, mostrando con cura i calcoli e motivando ogni conclusione con il teorema o il criterio utilizzato. Quando richiesto, indica la natura dei punti stazionari (massimo, minimo o flesso a tangente orizzontale) e specifica gli intervalli di concavità della funzione.
- Data la funzione f(x) = 2x³ − 9x² + 12x − 5, quali sono i suoi punti stazionari?
- A) x = 1 e x = 2
- B) x = −1 e x = 2
- C) x = 0 e x = 3
- D) x = 1 e x = 3
- Se in un punto interno x₀ del dominio la funzione f è derivabile e ammette un massimo relativo, allora necessariamente f'(x₀) = 0.
- Vero / Falso
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Per una funzione derivabile due volte, se f'(x₀) = 0 e f''(x₀) < 0 allora il punto x₀ è un punto di ___ relativo.
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Associa a ciascuna condizione sulla derivata seconda la corretta interpretazione geometrica del grafico nell'intorno del punto x₀ (con f derivabile due volte). | Colonna A | Colonna B | |---|---| | f''(x₀) > 0 | grafico concavo (concavità verso il basso) | | f''(x₀) < 0 | punto di flesso | | f''(x₀) = 0 con cambio di segno | punto di minimo relativo | | f'(x₀) = 0 e f''(x₀) > 0 | grafico convesso (concavità verso l'alto) |
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Studia massimi, minimi e flessi della funzione h(x) = x⁴ − 8x² + 16 definita su tutto l'asse reale, indicando per ciascun punto la natura e il valore assunto dalla funzione.
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Spiega in poche righe la differenza tra un massimo relativo e un massimo assoluto, indicando come si cercano gli estremi assoluti di una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato [a, b].
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Per la funzione f(x) = x³ − 3x², qual è la natura del punto x = 0?
- A) Minimo relativo
- B) Massimo relativo
- C) Flesso a tangente orizzontale
- D) Punto angoloso
- Un cartello rettangolare deve avere area pari a 18 m². Determina le dimensioni della base x e dell'altezza y che rendono minimo il perimetro, giustificando con derivata prima e derivata seconda che si tratta effettivamente di un minimo.