Svolgi i seguenti esercizi sul quaderno, mostrando con cura i calcoli delle derivate, lo studio del segno e la classificazione dei punti stazionari. Verifica sempre il risultato confrontando i due metodi (segno di f' e segno di f''). Le funzioni proposte sono pensate per coprire tutte le competenze: definizioni, calcolo, classificazione, flessi, problemi di ottimizzazione e interpretazione grafica.
- Quale delle seguenti affermazioni descrive correttamente un punto stazionario di una funzione derivabile?
- A) È un punto in cui f(x) = 0
- B) È un punto in cui f'(x) = 0
- C) È un punto in cui f''(x) = 0
- D) È un punto in cui la funzione non è definita
- Se f'(x₀) = 0 allora x₀ è necessariamente un massimo o un minimo relativo per f.
- Vero / Falso
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Se in un punto stazionario x₀ risulta f''(x₀) > 0, allora x₀ è un punto di ___ relativo.
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Un punto in cui la funzione cambia concavità si chiama punto di ___.
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Per la funzione f(x) = x² − 6x + 5, il punto x = 3 è:
- A) un massimo relativo
- B) un minimo relativo
- C) un flesso a tangente orizzontale
- D) un punto angoloso
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Data f(x) = x³ − 12x + 1, determina i punti stazionari e classificali con il test della derivata seconda.
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Una funzione può avere un minimo assoluto in un punto in cui non è derivabile.
- Vero / Falso
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Associa ciascuna condizione (a sinistra) alla natura del punto stazionario x₀ corrispondente (a destra). | Colonna A | Colonna B | |---|---| | f'(x₀) = 0 e f''(x₀) > 0 | Massimo relativo | | f'(x₀) = 0 e f''(x₀) < 0 | Flesso a tangente orizzontale | | f'(x₀) = 0, f''(x₀) = 0 e f' non cambia segno | Punto di flesso | | f''(x₀) = 0 con cambio di segno di f'' | Minimo relativo |
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Studia massimi, minimi e flessi della funzione f(x) = x⁴ − 4x³.
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La funzione f(x) = x³ ha in x = 0:
- A) un massimo relativo
- B) un minimo relativo
- C) un flesso a tangente orizzontale
- D) un punto angoloso
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Su un intervallo chiuso [a, b] i candidati per il massimo assoluto sono: i punti stazionari interni, i punti in cui f non è derivabile e i due ___ dell'intervallo.
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Spiega con parole tue la differenza fra un massimo relativo e un massimo assoluto.
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Trova gli intervalli di concavità e i punti di flesso di f(x) = x³ − 3x² + 1.
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Se f''(x₀) = 0 allora x₀ è sicuramente un punto di flesso.
- Vero / Falso
- La funzione f(x) = e^(−x²) presenta in x = 0:
- A) un minimo relativo
- B) un massimo relativo
- C) un flesso a tangente orizzontale
- D) una cuspide
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Determina massimi e minimi assoluti di f(x) = x³ − 3x sull'intervallo chiuso [−2, 3].
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Un agricoltore vuole recintare un orto rettangolare lungo un fiume, usando il fiume come uno dei lati. Dispone di 200 m di rete. Quali devono essere le dimensioni dell'orto perché l'area sia massima?
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Spiega perché il teorema di Fermat fornisce una condizione necessaria ma non sufficiente per i massimi e i minimi relativi.
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In un punto di flesso a tangente obliqua, la derivata prima:
- A) si annulla
- B) è positiva o negativa diversa da zero
- C) non esiste
- D) tende a infinito
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Studia il punto stazionario di f(x) = (x − 1)⁴ e stabilisci se è massimo, minimo o flesso.
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Associa ogni funzione al tipo di punto presente nell'ascissa indicata. | Colonna A | Colonna B | |---|---| | f(x) = x² in x = 0 | Massimo relativo | | f(x) = −x² in x = 0 | Flesso a tangente orizzontale | | f(x) = x³ in x = 0 | Minimo assoluto non derivabile | | f(x) = |x| in x = 0 | Minimo relativo |
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Si vuole costruire una scatola aperta superiormente partendo da un cartoncino quadrato di lato 12 cm, ritagliando agli angoli quattro quadratini di lato x e piegando i lembi. Determina x affinché il volume sia massimo.
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Descrivi in dettaglio il procedimento generale per studiare massimi, minimi e flessi di una funzione f(x) derivabile due volte, indicando i passi, gli strumenti usati e gli eventuali casi particolari da non dimenticare.
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Determina massimi, minimi e flessi della funzione f(x) = x/(x² + 1).