Risolvi i seguenti esercizi sullo studio di funzione. Per ogni quesito mostra i passaggi sul quaderno, scrivi le formule complete e, dove richiesto, traccia un grafico ordinato con tutti gli elementi significativi (assi, asintoti, intersezioni, punti notevoli).
- Qual è il dominio della funzione f(x)=ln(x^2-9)?
- A) x diverso da 3 e da -3
- B) -3<x<3
- C) x<-3 oppure x>3
- D) x>=3
- Se una funzione razionale fratta ha grado del numeratore inferiore al grado del denominatore, allora ammette y=0 come asintoto orizzontale per x che tende a più o meno infinito.
- Vero / Falso
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Nei punti in cui la derivata prima cambia segno da positivo a negativo la funzione presenta un punto di ___ relativo.
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Associa a ciascun elemento dello studio di funzione lo strumento analitico che permette di determinarlo. | Colonna A | Colonna B | |---|---| | Asintoto verticale | Segno della derivata prima | | Monotonia (crescenza/decrescenza) | Segno della derivata seconda | | Concavità e flessi | Limite del rapporto f(x)/x e poi di f(x)-mx | | Asintoto obliquo | Limite finito o infinito in un punto escluso dal dominio |
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Considerando la funzione f(x)=x^3-3x, quali sono i suoi punti stazionari e la loro natura?
- A) x=0 massimo, x=1 minimo
- B) x=-1 massimo relativo, x=1 minimo relativo
- C) x=-1 e x=1 sono entrambi flessi
- D) x=0 è l'unico punto stazionario ed è un flesso
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Determina le equazioni degli eventuali asintoti della funzione f(x)=(2x^2-x+1)/(x-1), giustificando il procedimento.
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Esegui lo studio completo della funzione f(x)=x/(x^2+1): dominio, simmetrie, intersezioni con gli assi, segno, limiti, asintoti, derivata prima con monotonia e punti stazionari, derivata seconda con concavità e flessi, infine traccia il grafico probabile.
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Spiega in modo argomentato perché lo studio della derivata seconda non è sufficiente, da solo, a stabilire la natura di un punto stazionario quando essa si annulla in quel punto, e descrivi quale procedimento alternativo si può adottare. Accompagna la spiegazione con un esempio significativo.