Risolvi i seguenti esercizi sullo studio di funzione, motivando ogni passaggio. Quando ti viene chiesto di tracciare un grafico, costruisci prima una tabella riassuntiva con dominio, segno, limiti, asintoti, monotonia e concavità. Usa il quaderno per i calcoli completi e riporta in sintesi le risposte.
- Qual è il dominio della funzione f(x) = (2x+1)/(x²−9)?
- A) R
- B) R \ {3}
- C) R \ {−3, 3}
- D) R \ {−1/2, 3}
- Qual è il dominio della funzione f(x) = ln(x−4)?
- A) x > 4
- B) x ≥ 4
- C) x < 4
- D) x ≠ 4
- La funzione f(x) = x⁴ − 5x² + 2 è una funzione pari.
- Vero / Falso
- Se una funzione razionale ha asintoto orizzontale, allora ha anche asintoto obliquo nello stesso ramo.
- Vero / Falso
-
Una funzione f(x) si dice ___ se f(−x) = −f(x) per ogni x del dominio simmetrico rispetto all'origine.
-
Se il limite di f(x) per x che tende a x₀ è infinito, allora la retta x = x₀ è un asintoto ___ del grafico.
-
Se f'(x) > 0 in un intervallo, la funzione è ___ in quell'intervallo.
-
Se f''(x) < 0 in un intervallo, il grafico volge la concavità verso il ___.
-
Associa ogni concetto allo strumento di analisi corrispondente. | Colonna A | Colonna B | |---|---| | Punti di massimo e minimo relativi | Segno della derivata seconda | | Concavità e flessi | Limiti per x che tende a un valore finito | | Asintoti verticali | Limiti per x che tende a infinito | | Asintoti orizzontali od obliqui | Segno della derivata prima |
-
Associa ogni funzione al tipo di simmetria del suo grafico. | Colonna A | Colonna B | |---|---| | f(x) = x² + cos x | Simmetria rispetto all'origine | | f(x) = x³ + sin x | Nessuna simmetria | | f(x) = x² + x | Simmetria rispetto all'origine e periodicità | | f(x) = sin x | Simmetria rispetto all'asse y |
-
Calcola il limite di (3x²−x+2)/(x²+5) per x che tende a +∞.
- A) 0
- B) 3
- C) +∞
- D) Non esiste
- Quale tra le seguenti rette è asintoto obliquo di f(x) = (x²+1)/x per x → +∞?
- A) y = x
- B) y = x+1
- C) y = 1
- D) y = 0
- La derivata prima di f(x) = x·e^x è:
- A) e^x
- B) x·e^x
- C) (1+x)·e^x
- D) (1−x)·e^x
-
Spiega come si determinano gli asintoti orizzontali e obliqui di una funzione, distinguendo i due casi.
-
Descrivi il significato geometrico della derivata prima e della derivata seconda in un punto.
-
Studia la funzione f(x) = x³ − 3x² determinando dominio, intersezioni con gli assi, segno, limiti, derivata prima con monotonia ed estremi, derivata seconda con concavità e flessi, e disegna il grafico qualitativo.
-
Studia la funzione f(x) = (x²−1)/x e tracciane il grafico qualitativo.
-
Studia la funzione f(x) = x·ln(x), specificandone dominio, eventuali simmetrie, limiti agli estremi del dominio, monotonia, concavità, ed estremi.
-
Spiega in modo approfondito perché lo studio di funzione segue un ordine fisso di passi e quali errori si rischiano se si salta o si inverte uno di essi.
-
Determina dominio, eventuali simmetrie e intersezioni con gli assi della funzione f(x) = (x²−4)/(x²+1).
-
La funzione f(x) = (x²−4)/(x²+1) ammette quale asintoto orizzontale?
- A) y = 0
- B) y = 1
- C) y = −4
- D) y = 4
- Un punto in cui la derivata prima si annulla è sempre un punto di massimo o minimo relativo.
- Vero / Falso
- Se in un punto x₀ del dominio la derivata seconda è nulla e cambia segno, allora x₀ è un flesso.
- Vero / Falso
-
Considera la funzione f(x) = e^(−x²). Determina dominio, simmetrie, limiti all'infinito e descrivi qualitativamente il grafico.
-
Per la funzione f(x) = x/(x²+1), determina dominio, simmetrie, segno, limiti all'infinito, eventuali asintoti, derivata prima con monotonia ed estremi, e descrivi il grafico.