Svolgi i seguenti esercizi sul quaderno, motivando i passaggi. Quando ti viene chiesto di studiare una funzione, segui la sequenza completa: dominio, simmetrie, intersezioni, segno, limiti e asintoti, derivata prima, derivata seconda, grafico qualitativo. Per gli esercizi a risposta chiusa, scegli o scrivi la risposta corretta.
- Qual è il dominio della funzione f(x) = √(x-2)/(x-5)?
- A) x ≥ 2 e x ≠ 5
- B) x > 2 e x ≠ 5
- C) x ≥ 5
- D) tutti i numeri reali tranne 5
- La funzione f(x) = x³ - 3x è una funzione dispari.
- Vero / Falso
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Se per x → +∞ si ha f(x)/x → 2 e f(x) - 2x → -1, allora la retta y = ___ è asintoto obliquo del grafico di f.
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Associa a ciascuna funzione il tipo di asintoto presente per x → +∞. | Colonna A | Colonna B | |---|---| | f(x) = (2x+1)/(x-3) | asintoto obliquo y=x | | f(x) = (x²+1)/x | nessun asintoto | | f(x) = ln(x) | asintoto orizzontale y=0 | | f(x) = 1/(x-4) | asintoto orizzontale y=2 |
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Considerando f(x) = x⁴ - 2x², in quali punti si annulla la derivata prima?
- A) solo in x = 0
- B) in x = -1, 0, 1
- C) in x = ±√2
- D) in x = -1 e x = 1
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Studia la funzione f(x) = (x-1)/(x²-4) limitatamente a: dominio, intersezioni con gli assi, segno e asintoti verticali e orizzontali.
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Se in un punto x₀ la derivata prima si annulla e la derivata seconda è positiva, allora x₀ è un punto di massimo relativo.
- Vero / Falso
- La funzione f(x) = x³ - 6x² + 9x ha derivata prima f'(x) = 3x² - 12x + 9. Quali sono crescenza e decrescenza?
- A) crescente in (-∞, 1) ∪ (3, +∞), decrescente in (1, 3)
- B) crescente in (1, 3), decrescente altrove
- C) sempre crescente
- D) crescente in (-∞, 3), decrescente in (3, +∞)
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Una funzione è convessa in un intervallo se la sua derivata ___ è positiva in tale intervallo.
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Spiega in poche righe la differenza tra un punto di massimo relativo e un punto di flesso a tangente orizzontale.
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Associa il segno della derivata prima e seconda al comportamento del grafico. | Colonna A | Colonna B | |---|---| | f'(x)>0 e f''(x)>0 | funzione crescente e concava | | f'(x)>0 e f''(x)<0 | funzione decrescente e convessa | | f'(x)<0 e f''(x)>0 | funzione decrescente e concava | | f'(x)<0 e f''(x)<0 | funzione crescente e convessa |
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Della funzione f(x) = x·e^(-x) determina dominio, limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti, punti stazionari e loro natura.
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Per la funzione f(x) = ln(x²+1), il punto x = 0 è:
- A) un punto di massimo relativo
- B) un punto di minimo relativo
- C) un flesso a tangente orizzontale
- D) un punto angoloso
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Descrivi nei dettagli, passo per passo, il procedimento completo dello studio di una funzione razionale fratta, spiegando a cosa serve ciascuna fase e quali strumenti matematici si utilizzano.
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Data la funzione f(x) = x²/(x-2), studia: dominio, asintoti, derivata prima con punti stazionari, derivata seconda e concavità. Traccia infine il grafico qualitativo.