Svolgi i seguenti esercizi sulla derivata sul tuo quaderno, mostrando con cura tutti i passaggi di calcolo. Per gli esercizi a risposta chiusa motiva sempre la scelta; per i problemi giustifica ogni passo con la regola di derivazione utilizzata.
- Quale tra queste è la definizione corretta di derivata di f in x₀?
- A) lim h→0 [f(x₀+h) + f(x₀)] / h
- B) lim h→0 [f(x₀+h) − f(x₀)] / h
- C) lim h→∞ [f(x₀+h) − f(x₀)] / h
- D) lim h→0 [f(x₀) − f(x₀+h)] · h
- Se una funzione è continua in un punto, allora è necessariamente derivabile in quel punto.
- Vero / Falso
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La derivata di xⁿ rispetto a x è uguale a ___ , per qualunque esponente reale n.
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Quanto vale la derivata di f(x) = 7 in qualunque punto x del suo dominio?
- A) 7
- B) 1
- C) 0
- D) Non esiste
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Associa ciascuna funzione alla sua derivata. | Colonna A | Colonna B | |---|---| | sen x | −sen x | | cos x | eˣ | | eˣ | 1/x | | ln x | 3x² | | x³ | cos x |
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Calcola la derivata della funzione f(x) = 3x⁴ − 5x² + 2x − 7 e determina f'(1).
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La derivata di f(x) = x²·ln x è:
- A) 2x·ln x + x
- B) 2x + 1/x
- C) 2x·ln x + x²·(1/x) = 2x·ln x + x
- D) x²/x = x
- Il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di f nel punto (x₀, f(x₀)) è uguale a f'(x₀).
- Vero / Falso
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Determina l'equazione della retta tangente al grafico di f(x) = x² − 3x + 4 nel punto di ascissa x₀ = 2.
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La derivata della funzione composta y = f(g(x)) è uguale a ___ , secondo la regola della catena.
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Quale tra queste funzioni NON è derivabile in x = 0?
- A) f(x) = x²
- B) f(x) = |x|
- C) f(x) = sen x
- D) f(x) = eˣ
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Calcola la derivata di f(x) = sen(3x² + 1) utilizzando la regola della catena.
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Se f'(x₀) = 0, allora x₀ è certamente un punto di massimo o minimo locale per f.
- Vero / Falso
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Associa ciascuna espressione al tipo di punto di non derivabilità. | Colonna A | Colonna B | |---|---| | Derivate laterali finite e diverse | Cuspide | | Derivate laterali infinite di segno opposto | Flesso a tangente verticale | | Derivate laterali infinite dello stesso segno | Punto di derivabilità | | Derivate laterali finite e uguali | Punto angoloso |
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Spiega in poche righe perché la derivabilità implica la continuità ma non viceversa.
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Calcola la derivata di f(x) = (2x + 1) / (x² + 3) utilizzando la regola del quoziente.
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La velocità istantanea di un corpo che si muove secondo s(t) = 4t³ − 2t in metri è:
- A) s(t)/t
- B) 12t² − 2
- C) 12t³
- D) 4t² − 2
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In fisica la derivata della posizione rispetto al tempo si chiama ___ istantanea.
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Studia il segno della derivata di f(x) = x³ − 3x² e determina gli intervalli di crescenza e decrescenza.
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Un fabbricante deve costruire una scatola a base quadrata, senza coperchio, con volume di 32 litri. Determina le dimensioni che minimizzano la superficie di materiale usato, descrivendo dettagliatamente il procedimento.
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La derivata seconda di una funzione fornisce informazioni sulla concavità del suo grafico.
- Vero / Falso
- La derivata di f(x) = e^(x²) è:
- A) e^(x²)
- B) 2x·e^(x²)
- C) 2x
- D) x²·e^(x²−1)
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Verifica, applicando la definizione tramite il limite del rapporto incrementale, che la derivata di f(x) = x² in x₀ = 5 è uguale a 10.
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Trova un esempio concreto di grandezza fisica, biologica o economica e descrivi che cosa rappresenta la sua derivata rispetto al tempo, motivando perché il concetto di tasso di variazione istantaneo sia significativo in quel contesto.