Svolgi con cura i seguenti esercizi sul quaderno, mostrando tutti i passaggi di calcolo. Quando ti viene chiesto di derivare, indica esplicitamente la regola usata (potenza, prodotto, quoziente, catena). Per i problemi applicativi, ricorda che la derivata rappresenta un tasso di variazione istantaneo.
- La derivata della funzione f(x) = 5x³ − 2x + 7 è:
- A) 15x² − 2
- B) 15x² − 2 + 7
- C) 5x² − 2
- D) 15x³ − 2x
- Se in un punto x₀ la derivata di una funzione vale zero, allora x₀ è certamente un punto di massimo o di minimo relativo.
- Vero / Falso
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Geometricamente, la derivata di una funzione in un punto rappresenta il coefficiente angolare della retta ___ al grafico nel punto considerato.
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Associa ogni funzione alla sua derivata corretta. | Colonna A | Colonna B | |---|---| | f(x) = cos x | 1/x | | f(x) = ln x | eˣ | | f(x) = eˣ | 5x⁴ | | f(x) = x⁵ | −sen x |
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Calcola la derivata della funzione f(x) = (2x² + 3)·(x − 4) applicando la regola del prodotto, poi verifica il risultato sviluppando prima il prodotto e derivando termine a termine.
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Applicando la regola della catena, la derivata di y = sen(x² + 1) è:
- A) cos(x² + 1)
- B) 2x·cos(x² + 1)
- C) 2x·sen(x² + 1)
- D) cos(2x)
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Determina la derivata della funzione f(x) = (3x − 1) / (x² + 2) utilizzando la regola del quoziente.
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Spiega con parole tue, in poche righe, qual è la differenza tra rapporto incrementale e derivata, e che significato geometrico ha il passaggio al limite.
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Data la funzione f(x) = x² − 4x + 5, scrivi l'equazione della retta tangente al grafico nel punto di ascissa x₀ = 3.
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In fisica, se s(t) rappresenta la posizione di un corpo in funzione del tempo, la sua derivata s'(t) rappresenta la ___ istantanea.
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La regola della catena afferma che la derivata di f(g(x)) è uguale a f'(g(x)) moltiplicata per g'(x).
- Vero / Falso
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Studia la crescenza e la decrescenza della funzione f(x) = x³ − 12x + 5, determinando gli eventuali punti di massimo e minimo relativi.
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La derivata della funzione f(x) = √x (con x > 0) è:
- A) 1/√x
- B) 1/(2√x)
- C) 2√x
- D) x/2
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Un serbatoio d'acqua si svuota e il volume residuo dopo t minuti è V(t) = 200 − 4t² litri, valida per 0 ≤ t ≤ 7. Calcola la velocità di svuotamento all'istante t = 3 minuti e spiega il significato fisico del segno del risultato.
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Tra tutti i rettangoli di perimetro 40 cm, determina, usando la derivata, le dimensioni di quello di area massima.