Svolgi gli esercizi seguenti sul quaderno motivando ogni risposta con calcoli o brevi giustificazioni. Quando richiesto, indica esplicitamente il tipo di discontinuità incontrata e ricorda di verificare sempre le tre condizioni della definizione di continuità in un punto.
- Una funzione f è continua nel punto x₀ se e solo se:
- A) esiste f(x₀) e il limite per x→x₀ è finito, anche se diverso da f(x₀)
- B) esistono f(x₀) e lim(x→x₀) f(x), ed essi coincidono
- C) il grafico passa per il punto (x₀, 0)
- D) la funzione è definita in un intorno di x₀, indipendentemente dal limite
- Ogni funzione polinomiale è continua su tutto l'insieme dei numeri reali.
- Vero / Falso
-
Se i limiti destro e sinistro in x₀ esistono entrambi finiti ma sono diversi tra loro, la discontinuità si dice di ___ specie.
-
Associa a ciascuna funzione il tipo di discontinuità che presenta nel punto indicato. | Colonna A | Colonna B | |---|---| | h(x) = 1/(x − 3) in x₀ = 3 | terza specie (eliminabile) | | k(x) = (x² − 9)/(x − 3) in x₀ = 3 | prima specie (salto) | | p(x) = |x|/x in x₀ = 0 | funzione continua, nessuna discontinuità | | q(x) = x² + 5x in x₀ = 2 | seconda specie |
-
Determina per quale valore del parametro reale a la funzione f(x) definita come f(x) = ax + 1 se x ≤ 1 e f(x) = x² + 3 se x > 1 risulta continua nel punto x₀ = 1.
-
Spiega con parole tue la differenza tra una discontinuità di terza specie e una discontinuità di prima specie, indicando in quale dei due casi si può parlare di prolungamento per continuità.
-
Studia la continuità della funzione f(x) = (x² − 5x + 6)/(x − 2) sul suo dominio e stabilisci se l'eventuale discontinuità è eliminabile; in caso affermativo scrivi il prolungamento continuo.
-
Considera la funzione f(x) = e^(1/x) e studia il comportamento nel punto x₀ = 0 calcolando i due limiti laterali; classifica la discontinuità motivando dettagliatamente la risposta e descrivi qualitativamente il grafico in un intorno dell'origine.