Svolgi con ordine i seguenti esercizi sulla continuità di una funzione. Quando ti viene chiesto di studiare un punto, calcola sempre dominio, limite destro, limite sinistro e valore della funzione, motivando ogni passaggio. Per i problemi con parametri, scrivi prima la condizione di continuità e poi risolvi l'equazione corrispondente.
- Una funzione f è continua in x₀ se e solo se:
- A) esiste f(x₀) e il limite per x→x₀ esiste finito
- B) esiste f(x₀), il limite per x→x₀ esiste finito e coincide con f(x₀)
- C) i limiti destro e sinistro esistono, anche se diversi
- D) f(x₀) coincide con uno dei due limiti laterali
- Ogni funzione derivabile in un punto è anche continua in quel punto.
- Vero / Falso
- Ogni funzione continua in un punto è anche derivabile in quel punto.
- Vero / Falso
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La funzione f(x) = 1/x presenta in x = 0 una discontinuità di ___ specie, perché i limiti laterali sono infiniti.
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La funzione f(x) = (x²−9)/(x−3) ha in x = 3 una discontinuità ___, eliminabile ponendo f(3) = 6.
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La funzione segno di x, sgn(x), che vale −1 per x<0, 0 per x=0 e 1 per x>0, in x=0 presenta una discontinuità:
- A) di prima specie con salto pari a 2
- B) di seconda specie
- C) eliminabile ponendo sgn(0) = 0
- D) di prima specie con salto pari a 1
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Associa ciascuna funzione al tipo di discontinuità che presenta nel punto indicato. | Colonna A | Colonna B | |---|---| | f(x) = (sin x)/x in x = 0 | discontinuità di seconda specie | | f(x) = 1/(x−2) in x = 2 | discontinuità di prima specie (salto) | | f(x) = |x|/x in x = 0 | funzione continua nel punto | | f(x) = x² in x = 5 | discontinuità di terza specie (eliminabile) |
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Studia la continuità in x = 1 della funzione f(x) definita come 2x+1 per x≤1 e come x²+2 per x>1. Classifica eventuali discontinuità.
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Determina il valore del parametro a per cui la funzione f(x) = ax+3 per x<2 e f(x) = x²−1 per x≥2 risulti continua in x = 2.
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Determina i valori dei parametri a e b affinché la funzione f(x) = x+a per x<0, b per x=0, e^x + 2 per x>0 sia continua in x = 0.
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Quale tra le seguenti funzioni è continua su tutto R?
- A) f(x) = 1/(x²+1)
- B) f(x) = tan x
- C) f(x) = ln x
- D) f(x) = 1/(x−1)
- La somma di due funzioni continue in x₀ è sempre una funzione continua in x₀.
- Vero / Falso
- Il quoziente f/g di due funzioni continue è sempre continuo dove sono definite f e g.
- Vero / Falso
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Spiega con parole tue perché la funzione f(x) = (x²−4)/(x−2) presenta in x=2 una discontinuità eliminabile e indica come si può prolungare per renderla continua.
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Verifica, usando il teorema degli zeri, che l'equazione x³+x−1 = 0 ha almeno una soluzione nell'intervallo [0, 1].
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Il teorema di ___ garantisce che una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato ammette in esso massimo e minimo assoluti.
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La funzione f(x) = (x²−1)/(x+1) in x = −1 presenta:
- A) una discontinuità di prima specie
- B) una discontinuità di seconda specie
- C) una discontinuità eliminabile, con limite −2
- D) è continua perché f(−1) = −2
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Studia la continuità della funzione f(x) = (x−3)/(x²−9) e classifica le sue discontinuità.
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Enuncia con precisione il teorema dei valori intermedi e fai un esempio quotidiano in cui la sua conclusione è evidente.
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La funzione di Dirichlet, che vale 1 sui razionali e 0 sugli irrazionali, è continua in qualche punto di R.
- Vero / Falso
- Considera la funzione f(x) = sin(1/x) per x ≠ 0 e f(0) = 0. In x = 0:
- A) è continua perché f(0) è ben definita
- B) ha una discontinuità di prima specie con salto pari a 1
- C) ha una discontinuità di seconda specie perché il limite non esiste
- D) ha una discontinuità eliminabile ponendo f(0) = 1
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Determina i valori di k affinché la funzione f(x) = (x²+kx+2)/(x−1) abbia in x=1 una discontinuità eliminabile.
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Spiega in modo articolato la differenza tra le tre specie di discontinuità, illustrando ciascuna con una funzione di tua scelta diversa da quelle proposte nella spiegazione teorica.
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Associa ciascun teorema all'enunciato che lo descrive correttamente. | Colonna A | Colonna B | |---|---| | Teorema di Weierstrass | una funzione continua su [a,b] assume tutti i valori tra f(a) e f(b) | | Teorema dei valori intermedi | se f è continua su [a,b] e f(a)·f(b)<0 esiste c ∈ (a,b) con f(c)=0 | | Teorema degli zeri | la composizione di funzioni continue nei rispettivi punti è continua | | Teorema sulla composizione | una funzione continua su [a,b] ammette massimo e minimo assoluti |
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Costruisci una funzione definita a tratti su R che presenti contemporaneamente una discontinuità di prima specie in x=0, una di seconda specie in x=2 e una eliminabile in x=4. Rappresentane qualitativamente il grafico e giustifica la classificazione di ciascuna discontinuità.