Svolgi i seguenti esercizi sul quaderno, motivando ogni risposta con i passaggi necessari. Per gli esercizi a scelta multipla individua l'unica opzione corretta; per quelli a risposta aperta scrivi un ragionamento completo, citando i teoremi e le definizioni utilizzate. Riporta sempre eventuali grafici qualitativi quando ti aiutano a giustificare la risposta.
- Affinché una funzione f sia continua nel punto x₀ devono verificarsi contemporaneamente alcune condizioni. Quale tra le seguenti NON è richiesta dalla definizione di continuità in un punto?
- A) La funzione f deve essere definita in x₀
- B) Il limite di f(x) per x che tende a x₀ deve esistere ed essere finito
- C) Il valore f(x₀) deve coincidere con il limite di f(x) per x che tende a x₀
- D) La funzione f deve essere derivabile in x₀
- La funzione f(x) = (x² - 9)/(x - 3) presenta in x = 3 una discontinuità eliminabile, poiché il limite per x che tende a 3 esiste finito e vale 6, mentre la funzione non è definita in quel punto.
- Vero / Falso
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Completa la frase con il termine corretto: una discontinuità si dice di prima specie o di ___ quando i limiti laterali esistono entrambi finiti ma sono diversi tra loro.
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Associa ciascuna funzione al tipo di discontinuità che presenta nel punto indicato. | Colonna A | Colonna B | |---|---| | f(x) = 1/x in x = 0 | Discontinuità di terza specie (eliminabile) | | f(x) = sin(x)/x in x = 0 (non definita) | Discontinuità di prima specie (salto) | | f(x) = |x|/x in x = 0 | Funzione continua, nessuna discontinuità | | f(x) = x² + 5 in x = 2 | Discontinuità di seconda specie |
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Studia la continuità della funzione definita per casi f(x) = { 2x + 1 se x ≤ 0 ; x² + 1 se x > 0 } nel punto x₀ = 0 e classifica eventuali discontinuità.
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Quale dei seguenti teoremi garantisce che una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato [a, b] ammette massimo e minimo assoluti su tale intervallo?
- A) Teorema dei valori intermedi
- B) Teorema di Weierstrass
- C) Teorema di esistenza degli zeri
- D) Teorema di Rolle
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Spiega con parole tue perché la funzione f(x) = (x² - 4)/(x - 2) può essere prolungata per continuità nel punto x = 2 e indica quale valore bisogna assegnare a f(2).
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Se una funzione f è continua sull'intervallo [-2, 5] e si ha f(-2) = -3 mentre f(5) = 7, il teorema di esistenza degli zeri assicura che esiste almeno un punto c interno all'intervallo in cui f(c) = 0.
- Vero / Falso
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Completa: se f e g sono continue in x₀ e g(x₀) ≠ 0, allora anche la funzione quoziente f/g risulta ___ in x₀.
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Determina il valore del parametro reale k affinché la funzione f(x) = { kx + 3 se x < 2 ; x² - 1 se x ≥ 2 } sia continua nel punto x₀ = 2.
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La funzione f(x) = E(x), dove E(x) è la parte intera di x (funzione 'pavimento'), presenta in ogni numero intero una discontinuità di:
- A) Terza specie, eliminabile riassegnando il valore della funzione
- B) Prima specie, con salto di ampiezza 1
- C) Seconda specie, con limiti infiniti
- D) Nessuna discontinuità, poiché è continua su tutto R
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Considera la funzione f(x) = (x³ - x)/(x² - x). Determina il dominio, individua tutti i punti di discontinuità, classificali e indica come si potrebbe eventualmente prolungare la funzione per continuità.
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La funzione f(x) = tan(x) è continua in tutti i punti del suo dominio, ma presenta discontinuità di seconda specie nei punti x = π/2 + kπ con k intero, in quanto in tali punti la funzione non è definita e i limiti laterali sono infiniti.
- Vero / Falso
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Verifica, applicando il teorema di esistenza degli zeri, che l'equazione x³ + x - 4 = 0 ammette almeno una soluzione nell'intervallo [1, 2]. Non è richiesto di calcolare il valore esatto.
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Costruisci un esempio originale di funzione definita per casi che sia continua nel punto x₀ = 3 ma non derivabile in tale punto, spiegando perché soddisfa la definizione di continuità e perché invece presenta un problema dal punto di vista della derivabilità.