Svolgi gli esercizi seguenti sul quaderno, mostrando ogni passaggio e indicando sempre la costante di integrazione c quando richiesta. Verifica i risultati derivando le primitive ottenute.
- Quale delle seguenti funzioni è una primitiva di f(x) = 4x³?
- A) x⁴ + c
- B) 12x² + c
- C) x⁴/4 + c
- D) 4x⁴ + c
- Due primitive distinte della stessa funzione differiscono sempre per una costante additiva.
- Vero / Falso
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Per la proprietà di linearità si ha ∫ [f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ___.
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L'integrale ∫ (1/x) dx è uguale a ___ + c.
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Associa ciascuna funzione integranda alla sua primitiva (omettendo la costante c). | Colonna A | Colonna B | |---|---| | cos x | e^x | | e^x | tan x | | 1/cos²x | x⁶/6 | | x⁵ | sin x |
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Calcola ∫ (5x⁴ − 3x² + 7) dx.
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Calcola ∫ (2 sin x − e^x + 4/x) dx.
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Determina la primitiva F(x) di f(x) = 3x² + 2 che soddisfa la condizione F(1) = 5.
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Quanto vale ∫ (cos x + 2x) dx?
- A) sin x + x² + c
- B) −sin x + x² + c
- C) sin x + 2 + c
- D) cos x + x² + c
- Vale la formula ∫ [f(x)·g(x)] dx = (∫ f(x) dx)·(∫ g(x) dx).
- Vero / Falso
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Spiega perché nell'integrale indefinito compare sempre la costante c e cosa rappresenta dal punto di vista geometrico.
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Illustra la tecnica di integrazione per parti, scrivendo la formula generale e descrivendo in quali situazioni risulta particolarmente utile, con riferimento alla scelta dei fattori u e v'.
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Calcola ∫ 2x·(x² + 1)⁵ dx usando una sostituzione opportuna.
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Verifica derivando che F(x) = x·ln x − x è una primitiva di f(x) = ln x e descrivi i passaggi del calcolo.