Svolgi i seguenti esercizi sull'integrale indefinito. Per ogni esercizio mostra i passaggi sul quaderno, indica il metodo usato e, dove possibile, verifica il risultato derivando la primitiva ottenuta. Ricorda sempre di scrivere la costante d'integrazione.
- Qual è il risultato di ∫ x⁵ dx?
- A) x⁶ + C
- B) x⁶/6 + C
- C) 5x⁴ + C
- D) 6x⁶ + C
- L'integrale indefinito di una funzione f(x) è unico, ossia esiste una sola primitiva.
- Vero / Falso
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Completa: ∫ (1/x) dx = ___ + C, valida per x diverso da zero.
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Associa ciascuna funzione integranda al suo integrale indefinito (senza la costante C). | Colonna A | Colonna B | |---|---| | cos(x) | -cos(x) | | sin(x) | e^x | | e^x | arctan(x) | | 1/(1+x²) | sin(x) |
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Applicando la linearità, ∫ (2x + 3) dx è uguale a:
- A) x² + 3x + C
- B) 2x² + 3x + C
- C) x² + 3 + C
- D) 2x + 3x + C
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Calcola ∫ (4x³ - 6x² + 2x - 7) dx e verifica il risultato derivando la primitiva ottenuta.
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L'integrale di un prodotto di funzioni è uguale al prodotto degli integrali delle singole funzioni.
- Vero / Falso
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Completa la formula generale della regola della potenza: ∫ x^n dx = ___ + C, con n diverso da -1.
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Spiega perché nell'integrale indefinito compare sempre una costante arbitraria C.
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Calcola ∫ (5cos(x) + e^x - 3/x) dx, specificando il dominio di validità.
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Quale tra queste è una primitiva di f(x) = 1/(1+x²)?
- A) arcsin(x)
- B) arctan(x) + 5
- C) ln(1+x²)
- D) 1/(2x)
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Calcola ∫ 2x·(x² + 1)⁴ dx usando il metodo degli integrali quasi-immediati.
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Descrivi il metodo di integrazione per parti, scrivi la formula e spiega in quali situazioni conviene utilizzarlo, fornendo un esempio.
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Calcola ∫ x·ln(x) dx usando l'integrazione per parti.
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Un punto materiale si muove con accelerazione a(t) = 6t - 4 (espressa in m/s²). Sapendo che all'istante iniziale t = 0 la velocità vale 2 m/s e la posizione è 1 m, determina la legge oraria s(t) della posizione integrando due volte e applicando le condizioni iniziali.