Svolgi con cura i seguenti esercizi sull'integrale indefinito. Per ogni integrale ricordati di aggiungere la costante c e, quando possibile, verifica il risultato derivando la primitiva ottenuta. Mostra i passaggi sul quaderno, motivando la scelta del metodo (immediato, scomposizione, sostituzione, parti, fratti semplici).
- Quale tra le seguenti è una primitiva di f(x) = 3x²?
- A) x³ + 5
- B) 3x³ + c
- C) x³/3 + c
- D) 6x + c
- L'integrale ∫ 1/x dx vale ln(x) + c valido solo per x > 0; in generale si scrive ln|x| + c per coprire anche i valori negativi di x.
- Vero / Falso
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Per la regola delle potenze, ∫ x⁵ dx = ___ + c.
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Quanto vale ∫ (2x + cos(x)) dx?
- A) x² - sin(x) + c
- B) x² + sin(x) + c
- C) 2 - sin(x) + c
- D) x² + cos(x) + c
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Associa a ciascuna funzione integranda la sua primitiva (omettendo la costante c). | Colonna A | Colonna B | |---|---| | eˣ | -cos(x) | | sin(x) | ln|x| | | 1/x | tan(x) | | 1/cos²(x) | eˣ |
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Calcola ∫ (4x³ - 2x + 7) dx applicando la linearità dell'integrale.
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L'integrale ∫ e^(2x) dx, applicando la sostituzione t = 2x, vale ___ + c.
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Applicando il metodo di sostituzione con t = x² + 1, l'integrale ∫ 2x·(x² + 1)⁵ dx diventa:
- A) ∫ t⁵ dt
- B) ∫ 2t⁵ dt
- C) ∫ t⁵/2 dt
- D) ∫ (x² + 1)⁵ dt
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Calcola ∫ x·sin(x) dx usando l'integrazione per parti.
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L'integrale di una somma di funzioni è sempre uguale alla somma degli integrali delle singole funzioni, grazie alla proprietà di linearità dell'operatore integrale.
- Vero / Falso
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Spiega con parole tue perché nella scrittura ∫ f(x) dx = F(x) + c la costante c è essenziale e non può essere omessa.
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Quale metodo conviene applicare per calcolare ∫ ln(x) dx?
- A) Sostituzione con t = ln(x)
- B) Integrazione per parti con f(x) = ln(x) e g'(x) = 1
- C) Scomposizione in fratti semplici
- D) Regola delle potenze diretta
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Sapendo che la derivata del denominatore compare al numeratore, ∫ (2x)/(x² + 3) dx = ___ + c.
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Calcola ∫ (3x² + 1)/x dx riconducendolo a una somma di integrali immediati.
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Quale delle seguenti uguaglianze è errata?
- A) ∫ cos(x) dx = sin(x) + c
- B) ∫ sin(x) dx = -cos(x) + c
- C) ∫ eˣ dx = eˣ + c
- D) ∫ 1/cos²(x) dx = -tan(x) + c
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Associa ogni integrale al metodo di risoluzione più adatto. | Colonna A | Colonna B | |---|---| | ∫ x·eˣ dx | Sostituzione | | ∫ 2x·cos(x²) dx | Scomposizione algebrica | | ∫ (x+1)² dx | Fratti semplici | | ∫ 1/(x²-4) dx | Integrazione per parti |
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Descrivi la regola mnemonica LIATE e spiega a cosa serve nel metodo di integrazione per parti.
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Calcola ∫ 1/(x² - 1) dx applicando la decomposizione in fratti semplici.
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L'integrale ∫ (5x⁴ - 3x² + 2) dx vale ___ + c.
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Per verificare se il risultato di un integrale indefinito è corretto è sufficiente derivare la primitiva ottenuta e controllare di riottenere la funzione integranda.
- Vero / Falso
- Calcolando ∫ √x dx, dopo aver riscritto la radice come potenza, si ottiene:
- A) (3/2)x^(3/2) + c
- B) (2/3)x^(3/2) + c
- C) x^(3/2) + c
- D) (1/2)x^(-1/2) + c
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Un punto materiale si muove con accelerazione a(t) = 6t - 4 m/s². Sapendo che all'istante t = 0 la velocità è v(0) = 2 m/s e la posizione è s(0) = 0 m, determina la legge oraria s(t) integrando opportunamente.
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Calcola ∫ x²·ln(x) dx usando l'integrazione per parti.
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Spiega in che modo l'integrale indefinito è legato concettualmente alla derivata, indicando perché si parla di 'operazione inversa'.
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Quale tra le seguenti è la primitiva corretta di f(x) = 1/(1 + x²)?
- A) ln(1 + x²) + c
- B) arctan(x) + c
- C) -1/(1 + x²)² + c
- D) 2x/(1 + x²) + c