Svolgi i seguenti esercizi sull'integrale definito sul quaderno, mostrando tutti i passaggi di calcolo. Quando richiesto, motiva le risposte con riferimento alle proprietà o ai teoremi enunciati a lezione; per i problemi applicativi, indica chiaramente la funzione integranda e gli estremi di integrazione scelti, e verifica l'unità di misura del risultato finale.
- Qual è il valore di $\int_0^2 x,dx$?
- A) 1
- B) 2
- C) 4
- D) $\frac{1}{2}$
- Se $f(x) \geq 0$ su $[a,b]$ e $f$ è continua, allora $\int_a^b f(x),dx$ è sempre maggiore o uguale a zero.
- Vero / Falso
- Quale delle seguenti uguaglianze NON è una proprietà generale dell'integrale definito?
- A) $\int_a^b kf(x),dx = k\int_a^b f(x),dx$
- B) $\int_a^b [f(x)+g(x)],dx = \int_a^b f(x),dx + \int_a^b g(x),dx$
- C) $\int_a^b f(x)g(x),dx = \int_a^b f(x),dx \cdot \int_a^b g(x),dx$
- D) $\int_a^b f(x),dx = -\int_b^a f(x),dx$
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Il teorema fondamentale del calcolo integrale afferma che, se $G$ è una primitiva di $f$ continua su $[a,b]$, allora $\int_a^b f(x),dx = $ ___.
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L'integrale $\int_{-1}^{1} x^3,dx$ vale zero perché la funzione integranda è dispari e l'intervallo è simmetrico rispetto all'origine.
- Vero / Falso
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La somma di Riemann associata a una partizione di $[a,b]$ in $n$ sottointervalli di ampiezza $\Delta x$ è $S_n = $ ___.
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Quanto vale $\int_1^e \frac{1}{x},dx$?
- A) $e$
- B) $1$
- C) $e-1$
- D) $\ln e - \ln 1$, cioè in entrambi i casi 1
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Associa ogni integrale definito al suo risultato. | Colonna A | Colonna B | |---|---| | $\int_0^1 x^2,dx$ | $1$ | | $\int_0^{\pi/2}\cos x,dx$ | $e-1$ | | $\int_0^1 e^x,dx$ | $\frac{1}{2}$ | | $\int_1^2 \frac{1}{x^2},dx$ | $\frac{1}{3}$ |
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Calcola $\int_0^3 (x^2 - 2x + 1),dx$ utilizzando la formula di Newton-Leibniz.
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Determina l'area della regione di piano compresa tra la parabola $y=4-x^2$ e l'asse delle ascisse.
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Spiega in poche righe perché, se $f$ è continua su $[a,b]$ e $c \in (a,b)$, vale l'uguaglianza $\int_a^b f(x),dx = \int_a^c f(x),dx + \int_c^b f(x),dx$.
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Applicando la sostituzione $t=x^2+1$, l'integrale $\int_0^1 \frac{x}{x^2+1},dx$ diventa:
- A) $\frac{1}{2}\int_1^2 \frac{1}{t},dt$
- B) $\int_0^1 \frac{1}{t},dt$
- C) $\frac{1}{2}\int_0^1 \ln t,dt$
- D) $2\int_1^2 \frac{1}{t},dt$
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Calcola $\int_0^1 x,e^x,dx$ con l'integrazione per parti.
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Per qualsiasi funzione continua $f$ su $[a,b]$, l'area geometrica della regione delimitata dal grafico e dall'asse $x$ coincide sempre con $\int_a^b f(x),dx$.
- Vero / Falso
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Il valor medio di una funzione continua $f$ su $[a,b]$ è dato dalla formula $\mu = $ ___.
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Determina l'area della regione racchiusa tra le curve $y=x^2$ e $y=2x$.
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Il volume del solido ottenuto facendo ruotare attorno all'asse $x$ il grafico di $f(x)=\sqrt{x}$ tra 0 e 4 è:
- A) $4\pi$
- B) $8\pi$
- C) $16\pi$
- D) $\frac{32}{3}\pi$
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In quali casi è preferibile la tecnica di sostituzione rispetto all'integrazione per parti? Fornisci un criterio operativo e un breve esempio.
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Calcola l'area geometrica racchiusa tra il grafico di $f(x)=\sin x$ e l'asse $x$ sull'intervallo $[0, 2\pi]$.
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Enuncia con cura il teorema fondamentale del calcolo integrale nelle sue due parti e illustra perché esso giustifica il metodo operativo di calcolo degli integrali definiti tramite primitive.
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Il valor medio della funzione $f(x)=x^2$ sull'intervallo $[0,3]$ è:
- A) $3$
- B) $9$
- C) $\frac{9}{2}$
- D) $\frac{27}{2}$
- Nel metodo di sostituzione per integrali definiti è obbligatorio aggiornare gli estremi di integrazione passando dalla vecchia alla nuova variabile, oppure tornare in modo esplicito alla variabile originaria prima di valutare gli estremi.
- Vero / Falso
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Un corpo si muove lungo una retta con velocità $v(t)=3t^2 - 4t + 1$ (in m/s). Determina lo spazio percorso, in valore assoluto, tra $t=0$ e $t=2$ secondi.
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Spiega, con un esempio costruito da te, perché l'integrale $\int_a^b f(x),dx$ può risultare nullo anche se la funzione $f$ non è identicamente zero sull'intervallo $[a,b]$.