Svolgi con ordine i seguenti esercizi sul tuo quaderno, mostrando i passaggi essenziali. Quando ti viene chiesto di calcolare un integrale, indica sempre la primitiva utilizzata e i valori agli estremi. Verifica i risultati numerici con una stima geometrica quando possibile.
- Quale tra le seguenti affermazioni descrive correttamente l'integrale definito ∫ da a a b di f(x) dx per una funzione f continua e positiva su [a, b]?
- A) È sempre uguale alla derivata di f calcolata in b
- B) Rappresenta l'area della regione delimitata dal grafico di f, dall'asse x e dalle rette x=a e x=b
- C) È il limite del rapporto incrementale di f tra a e b
- D) Coincide con il valore massimo di f sull'intervallo
- Se f(x) è continua su [a, b] e G(x) è una sua primitiva, allora ∫ da a a b di f(x) dx = G(a) − G(b).
- Vero / Falso
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Il teorema fondamentale del calcolo afferma che la funzione integrale F(x) = ∫ da a a x di f(t) dt è derivabile e la sua derivata vale ___.
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Calcola ∫ da 0 a 2 di (3x² − 4x + 1) dx applicando la formula di Newton-Leibniz.
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Determina l'area della regione di piano delimitata dalla parabola y = 4 − x² e dall'asse delle ascisse.
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Quale proprietà giustifica l'uguaglianza ∫ da 0 a 5 di f(x) dx = ∫ da 0 a 2 di f(x) dx + ∫ da 2 a 5 di f(x) dx?
- A) Linearità rispetto alla funzione integranda
- B) Additività rispetto all'intervallo di integrazione
- C) Monotonia dell'integrale
- D) Inversione degli estremi
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Associa ciascun integrale definito al suo valore esatto. | Colonna A | Colonna B | |---|---| | ∫ da 0 a 1 di x dx | 2 | | ∫ da 0 a π di sin(x) dx | 1 | | ∫ da 1 a e di (1/x) dx | 6 | | ∫ da 0 a 2 di 3 dx | 1/2 |
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Se f(x) è una funzione continua su [a, b] e assume sia valori positivi sia valori negativi, allora ∫ da a a b di f(x) dx coincide sempre con l'area geometrica della regione racchiusa dal grafico.
- Vero / Falso
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Calcola il valore medio della funzione f(x) = x² sull'intervallo [0, 3] e individua il punto c in cui la funzione assume tale valore medio.
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Per la proprietà di linearità si ha ∫ da a a b di [5·f(x) − 3·g(x)] dx = 5·∫ f(x) dx − ___·∫ g(x) dx.
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Spiega con parole tue perché il valore di ∫ da 2 a 2 di f(x) dx è sempre nullo, qualunque sia la funzione f continua.
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Determina l'area della regione compresa tra le curve y = x² e y = 2x.
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Sia F(x) = ∫ da 1 a x di (t² + 1) dt. Quanto vale F'(2)?
- A) 3
- B) 5
- C) 4
- D) 2
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Descrivi in modo dettagliato la costruzione delle somme di Riemann per una funzione continua e positiva f su [a, b], spiegando come si passa dall'approssimazione discreta dell'area al valore esatto dell'integrale definito.
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Calcola ∫ da 0 a π/2 di (2cos(x) + 3sin(x)) dx applicando linearità e teorema fondamentale del calcolo.