Che cos'è un'equazione differenziale
Sintesi: un'equazione differenziale è un'equazione la cui incognita è una funzione, e che lega tale funzione alle sue derivate; risolverla significa trovare tutte le funzioni che soddisfano la relazione.
Finora avete sempre risolto equazioni in cui l'incognita era un numero, come $x^2-5x+6=0$, e la soluzione era un valore o un insieme di valori. In un'equazione differenziale, invece, l'incognita non è più un numero ma una intera funzione $y(x)$, e l'equazione contiene anche una o più sue derivate. Un esempio molto semplice è $y'(x) = 2x$, dove si chiede di trovare quale funzione, derivata, dia come risultato $2x$. Risolvere questa equazione significa cercare tutte le primitive di $2x$, ottenendo la famiglia di funzioni $y(x) = x^2 + C$, con $C$ costante reale arbitraria. Si capisce subito una differenza profonda rispetto alle equazioni algebriche: le soluzioni non sono punti isolati ma infinite curve, una per ciascun valore della costante. Questo insieme di curve viene detto integrale generale dell'equazione differenziale.
L'ordine di un'equazione differenziale è l'ordine massimo di derivazione che vi compare: $y' = 3y$ è del primo ordine, mentre $y'' + y = 0$ è del secondo ordine. Le equazioni differenziali sono nate per descrivere i fenomeni della realtà in cui una grandezza varia nel tempo o nello spazio, e la sua variazione dipende dal valore stesso della grandezza. Si pensi alla legge del raffreddamento di Newton: la velocità con cui una tazza di tè si raffredda è proporzionale alla differenza tra la sua temperatura e quella dell'aria della stanza. Tradotta in simboli, questa frase diventa $T'(t) = -k,(T(t)-T_{\text{amb}})$, dove $T(t)$ è la temperatura del tè all'istante $t$ e $k>0$ è una costante che dipende dal materiale della tazza. Modelli analoghi descrivono la crescita di una popolazione, il decadimento radioattivo, l'oscillazione di un pendolo o la scarica di un condensatore.
Soluzioni, costanti e problema di Cauchy
Quando si risolve un'equazione differenziale si ottiene di norma una famiglia infinita di soluzioni, parametrizzata da una o più costanti arbitrarie: il loro numero coincide con l'ordine dell'equazione. Per esempio l'equazione $y' = y$ ha come integrale generale $y(x) = C,e^x$, dove ogni scelta della costante $C$ produce una diversa funzione esponenziale che soddisfa la relazione. Per selezionare una sola soluzione tra le infinite possibili occorre aggiungere una condizione iniziale, cioè il valore che la funzione deve assumere in un punto noto, come $y(0)=3$. L'insieme formato dall'equazione differenziale e dalla condizione iniziale si chiama problema di Cauchy, e sotto opportune ipotesi ammette una e una sola soluzione. Nell'esempio precedente, imponendo $y(0)=3$ in $y(x)=C,e^x$ si ricava $C=3$, e quindi la soluzione particolare è $y(x)=3e^x$.
Per le equazioni del primo ordine del tipo $y' = f(x)$ la tecnica risolutiva è già nota: basta integrare entrambi i membri rispetto a $x$, ottenendo $y(x) = \int f(x),dx + C$. Quando invece l'equazione è della forma $y' = g(x),h(y)$ si parla di equazione a variabili separabili, e si procede portando tutto ciò che dipende da $y$ a sinistra e tutto ciò che dipende da $x$ a destra: si scrive $\frac{dy}{h(y)} = g(x),dx$ e poi si integrano entrambi i membri. Vediamolo su un caso concreto, prendendo l'equazione $y' = x,y$ con condizione iniziale $y(0)=2$. Separando le variabili si ottiene $\frac{dy}{y} = x,dx$; integrando si ha $\ln|y| = \frac{x^2}{2} + c$, da cui $y = C,e^{x^2/2}$, e imponendo $y(0)=2$ si trova $C=2$, dunque la soluzione del problema di Cauchy è $y(x) = 2,e^{x^2/2}$. Notate come la condizione iniziale fissi univocamente il valore della costante, trasformando una famiglia di curve in un'unica curva.
Ricorda
- Un'equazione differenziale ha come incognita una funzione e lega questa funzione alle sue derivate; l'ordine è quello della derivata più alta che compare.
- L'integrale generale contiene tante costanti arbitrarie quanto è l'ordine dell'equazione; aggiungendo le condizioni iniziali si ottiene un problema di Cauchy con un'unica soluzione particolare.
- Per le equazioni a variabili separabili si isolano i termini in $y$ da quelli in $x$ e si integrano entrambi i membri.
Verifica sul quaderno: risolvi il problema di Cauchy $y' = 3x^2$ con $y(1)=4$ scrivendo prima l'integrale generale, poi determinando la costante e infine controllando, per derivazione, che la funzione trovata soddisfi davvero l'equazione e la condizione iniziale.