Le equazioni differenziali sono il linguaggio con cui la matematica descrive il cambiamento: dalla velocità di un'auto al raffreddamento di una tazza di tè, dalla crescita di una popolazione alla scarica di un condensatore.
Cosa sono e perché nascono
Un'equazione algebrica come x² - 4 = 0 ha come incognita un numero, mentre un'equazione differenziale ha come incognita una funzione y(x), legata però alle sue derivate. La forma più generale che incontrerete in classe quinta è F(x, y, y', y'', …, y⁽ⁿ⁾) = 0, dove compaiono la variabile indipendente, la funzione e una o più derivate. Il fatto che dentro l'equazione comparia anche la derivata significa che noi non conosciamo direttamente la funzione, ma una relazione tra la funzione e il modo in cui essa varia. È un cambio di prospettiva profondo: passiamo dal descrivere stati statici al descrivere processi dinamici, cioè fenomeni che evolvono nel tempo o nello spazio. Pensate alla seconda legge di Newton F = m·a: poiché l'accelerazione è la derivata seconda della posizione, scrivere quella legge significa scrivere un'equazione differenziale. Allo stesso modo, in chimica, dire che la velocità di una reazione è proporzionale alla concentrazione del reagente significa scrivere c'(t) = -k·c(t), un'equazione differenziale del primo ordine.
Un primo esempio quotidiano è la dinamica della temperatura di una bibita lasciata sul tavolo: la velocità con cui la bibita si scalda è proporzionale alla differenza tra la temperatura ambiente e quella della bibita, e questo si traduce immediatamente nell'equazione T'(t) = k·(Tₐ - T(t)). Un secondo esempio è il salvadanaio digitale che ogni mese aggiunge un interesse proporzionale al capitale: detto C(t) il capitale, si ha C'(t) = r·C(t), e questa relazione costituisce un'equazione differenziale lineare elementare. In entrambi i casi non conosciamo a priori la funzione, ma sappiamo come essa cambia istante per istante.
Ordine, grado e classificazione
L'ordine di un'equazione differenziale è il massimo ordine di derivazione che vi compare: y' + 3y = 0 è del primo ordine, mentre y'' - 5y' + 6y = 0 è del secondo ordine. Il grado, quando l'equazione è polinomiale nelle derivate, è l'esponente più alto con cui compare la derivata di ordine massimo: per esempio (y'')³ + y = 0 è di secondo ordine e terzo grado. Distinguiamo poi le equazioni ordinarie, in cui la funzione incognita dipende da una sola variabile, dalle equazioni alle derivate parziali, che coinvolgono più variabili e che voi studierete eventualmente all'università. Un'altra distinzione cruciale è tra equazioni lineari, in cui la funzione incognita e le sue derivate compaiono al primo grado e non sono moltiplicate fra loro, e non lineari, che sono in genere molto più difficili da risolvere. Conoscere la classificazione è importante perché ad ogni tipo corrispondono metodi risolutivi diversi, e riconoscere la forma di un'equazione è il primo passo per scegliere la strategia giusta.
Un esempio quotidiano di equazione del primo ordine lineare è la carica di un piccolo accumulatore collegato a una sorgente costante: V'(t) + (1/τ)·V(t) = V₀/τ, dove τ è una costante di tempo. Un esempio di equazione del secondo ordine, sempre lineare, è il moto di una molla: m·x''(t) + k·x(t) = 0, che descrive un'altalena di bambini che oscilla senza attriti. In entrambi i casi è facile riconoscere ordine, grado e linearità, perché le derivate compaiono al primo grado e non vi sono prodotti tra y e le sue derivate.
Soluzioni, soluzione generale e soluzione particolare
Risolvere un'equazione differenziale significa trovare tutte le funzioni che, sostituite nell'equazione, la rendono identità vera per ogni x del dominio. L'insieme di tutte queste funzioni si chiama soluzione generale e dipende, in genere, da tante costanti arbitrarie quanto è l'ordine dell'equazione: una costante per le equazioni del primo ordine, due per quelle del secondo ordine, e così via. Quando assegniamo dei valori a queste costanti otteniamo una soluzione particolare, cioè una singola funzione tra le infinite possibili. Le costanti vengono determinate imponendo le cosiddette condizioni iniziali o condizioni al contorno, che fissano lo stato del sistema in un istante o in un punto. Per esempio, per il problema y' = 2x la soluzione generale è y(x) = x² + C, mentre imporre y(0) = 5 dà la soluzione particolare y(x) = x² + 5. Geometricamente la soluzione generale rappresenta una famiglia di curve, e le condizioni iniziali selezionano l'unica curva della famiglia che passa per il punto assegnato.
Un esempio quotidiano è quello di un ascensore in caduta libera ideale, descritto da s''(t) = -g: integrando due volte otteniamo s(t) = -½g·t² + v₀·t + s₀, dove v₀ e s₀ sono velocità e posizione iniziali, cioè le condizioni che individuano il moto particolare. Un secondo esempio è il pendolo per piccole oscillazioni, descritto da θ''(t) + ω²·θ(t) = 0, la cui soluzione generale è θ(t) = A·cos(ω·t) + B·sin(ω·t); l'angolo iniziale e la velocità angolare iniziale determinano A e B, e quindi l'unica oscillazione effettivamente osservata.
Verificare se una funzione è soluzione
Prima ancora di imparare a risolvere un'equazione differenziale è utilissimo saper verificare se una funzione assegnata ne è soluzione. Il procedimento è meccanico e va seguito con ordine:
- Si calcolano tutte le derivate della funzione candidata, fino all'ordine richiesto dall'equazione.
- Si sostituiscono y e le sue derivate al loro posto nell'equazione.
- Si svolgono i calcoli algebrici e si controlla se l'uguaglianza risultante è un'identità, ossia vera per ogni x del dominio. Questo controllo è importante perché molti esercizi di tipo "verifica" ricorrono nelle prove e perché allena lo sguardo a riconoscere strutture. Inoltre verificare una soluzione è spesso più semplice che trovarla, dunque permette di scoprire eventuali errori commessi nella fase risolutiva.
Un esempio: verifichiamo che y(x) = e^(3x) è soluzione di y' - 3y = 0. Calcoliamo y'(x) = 3·e^(3x) e sostituiamo: 3·e^(3x) - 3·e^(3x) = 0, dunque l'equazione è soddisfatta per ogni x reale. Un secondo esempio: controlliamo che y(x) = sin(x) sia soluzione di y'' + y = 0. Si ha y''(x) = -sin(x) e quindi -sin(x) + sin(x) = 0, identità vera ovunque, perciò la funzione soddisfa l'equazione.
Equazioni a variabili separabili
La famiglia più importante di equazioni del primo ordine che imparate a risolvere è quella delle equazioni a variabili separabili, cioè quelle che possono essere scritte nella forma y' = f(x)·g(y). L'idea geniale è interpretare y' come dy/dx e separare formalmente i differenziali, scrivendo dy/g(y) = f(x)·dx, per poi integrare entrambi i membri. Da un punto di vista rigoroso la separazione dei differenziali è una scorciatoia che nasconde una sostituzione, ma in pratica è uno strumento potentissimo e molto affidabile. Bisogna però prestare attenzione ai valori che annullano g(y), perché in corrispondenza di essi si possono avere soluzioni costanti che la procedura di separazione non rileva direttamente. La procedura ordinata è la seguente:
- Si controlla che l'equazione sia effettivamente della forma y' = f(x)·g(y).
- Si separano i differenziali: dy/g(y) = f(x)·dx.
- Si integrano entrambi i membri, aggiungendo una sola costante arbitraria.
- Si esplicita, se possibile, y in funzione di x e si studiano le eventuali soluzioni costanti.
Un esempio quotidiano è la dinamica di una popolazione di pesci in un laghetto con risorse illimitate: y' = k·y, dove y(t) è il numero di pesci. Separando si ottiene dy/y = k·dt, integrando ln|y| = k·t + c e infine y(t) = A·e^(k·t), dove A = y(0) è la popolazione iniziale. Un secondo esempio è il raffreddamento di una tazza di caffè in una stanza a 20 °C: T' = -k·(T - 20). Separando si ricava dT/(T - 20) = -k·dt, integrando ln|T - 20| = -k·t + c e quindi T(t) = 20 + (T₀ - 20)·e^(-k·t), che descrive l'avvicinarsi della temperatura del caffè a quella della stanza.
Equazioni lineari del primo ordine
Un'equazione lineare del primo ordine si scrive nella forma y' + a(x)·y = b(x), dove a(x) e b(x) sono funzioni note e continue su un intervallo. Per risolverla si introduce un fattore integrante μ(x) = e^(∫a(x)dx), che ha la magica proprietà di rendere il primo membro uguale alla derivata del prodotto μ(x)·y(x). Moltiplicando entrambi i membri per μ(x) l'equazione diventa (μ(x)·y(x))' = μ(x)·b(x), che si integra immediatamente. La soluzione generale assume allora la forma y(x) = (1/μ(x))·(∫μ(x)·b(x)dx + C), dove C è la costante di integrazione che viene fissata dalle condizioni iniziali. Questo metodo, dovuto in sostanza a Eulero, è uno dei più eleganti dell'analisi e si presta a moltissimi problemi di fisica e chimica. Quando b(x) è identicamente nulla parliamo di equazione lineare omogenea, mentre quando b(x) ≠ 0 l'equazione si dice completa o non omogenea.
Un esempio quotidiano è il riempimento di un serbatoio con una valvola che perde proporzionalmente al livello: V'(t) + (1/τ)·V(t) = q, con q portata costante; la soluzione mostra che V(t) tende al valore di regime q·τ. Un secondo esempio è la corrente in un circuito RL con generatore costante: L·i'(t) + R·i(t) = V₀; la soluzione i(t) = (V₀/R) + (i₀ - V₀/R)·e^(-(R/L)·t) descrive il transitorio iniziale e il regime finale costante, in cui la bobina si comporta come un semplice cortocircuito.
Il problema di Cauchy e il significato geometrico
Quando ad un'equazione differenziale del primo ordine y' = f(x, y) aggiungiamo la condizione iniziale y(x₀) = y₀ otteniamo un cosiddetto problema di Cauchy. Il teorema di esistenza e unicità, in versione semplificata, garantisce che, sotto ipotesi ragionevoli sulla regolarità di f, esiste ed è unica una soluzione che soddisfa la condizione iniziale in un opportuno intorno di x₀. Geometricamente l'equazione y' = f(x, y) associa ad ogni punto (x, y) del piano una direzione, e l'insieme di tutte queste direzioni forma il cosiddetto campo di direzioni. Le curve soluzione sono quelle curve che in ogni loro punto hanno per tangente la direzione assegnata dal campo. Il problema di Cauchy seleziona, tra tutte le curve soluzione, quella che passa per un dato punto, esattamente come tracciare un percorso seguendo le indicazioni stradali a partire da un punto preciso.
Un esempio quotidiano: l'equazione y' = -y/x con condizione iniziale y(1) = 2 corrisponde a chiedersi quale iperbole della famiglia x·y = costante passa per il punto (1, 2), e la risposta è x·y = 2. Un secondo esempio è il moto di un grave lanciato verso l'alto con velocità v₀: l'equazione v'(t) = -g con v(0) = v₀ dà v(t) = v₀ - g·t, l'unica funzione che soddisfa sia l'equazione sia la condizione iniziale, e che permette di prevedere quando il grave si fermerà e tornerà indietro.
Ricorda
- Un'equazione differenziale è una relazione tra una funzione incognita y(x) e una o più delle sue derivate.
- L'ordine è il massimo ordine di derivazione presente; ad esso corrisponde anche il numero di costanti arbitrarie nella soluzione generale.
- La soluzione generale è una famiglia di funzioni; una soluzione particolare si ottiene fissando le costanti tramite condizioni iniziali.
- Verificare una soluzione significa calcolare le derivate, sostituire e controllare che si ottenga un'identità.
- Le equazioni a variabili separabili si risolvono con dy/g(y) = f(x)·dx, ricordando di studiare le radici di g(y).
- Le equazioni lineari del primo ordine si risolvono con il fattore integrante μ(x) = e^(∫a(x)dx).
- Un problema di Cauchy = equazione + condizione iniziale; il teorema di esistenza e unicità ne garantisce, sotto ipotesi opportune, un'unica soluzione locale.
Piccolo esercizio di verifica da svolgere sul quaderno: considera l'equazione y' = 2x·y con condizione iniziale y(0) = 3. Riconosci che è a variabili separabili, separa correttamente i differenziali, integra entrambi i membri e ricava la soluzione generale; infine imponi y(0) = 3 e ottieni la soluzione particolare. Verifica la tua risposta sostituendo la funzione trovata nell'equazione di partenza e controllando che si ottenga un'identità.