Quando l'incognita è una funzione
Le equazioni differenziali sono equazioni in cui non cerchiamo un numero, ma una funzione: lo strumento matematico con cui descriviamo il movimento, la crescita di una popolazione, il raffreddamento di una tazza di tè.
Fin dalle prime classi del liceo abbiamo risolto equazioni come 2x+5=11, in cui l'incognita è un numero. Ora facciamo un passo decisivo: l'incognita diventa una funzione y(x), legata però alle sue derivate y'(x), y''(x) e così via. Pensiamo a un'auto che frena: la sua posizione cambia nel tempo, la sua velocità è la derivata della posizione e l'accelerazione è la derivata della velocità. Conoscere la relazione tra queste grandezze ci permette di prevedere dove si fermerà l'auto, ed è proprio questo il cuore delle equazioni differenziali. In questa scheda introduttiva impareremo a riconoscerle, classificarle e risolvere i primi casi semplici. Vedremo che dietro a una formula come y'=ky si nasconde una intera famiglia di fenomeni reali.
Che cos'è una equazione differenziale
Una equazione differenziale ordinaria è una relazione che lega una variabile indipendente x, una funzione incognita y(x) e alcune sue derivate. Scriviamo per esempio y'=3x², oppure y''+y=0, oppure ancora y'=2y: in tutti i casi cerchiamo le funzioni y(x) che, sostituite nell'equazione, la rendono una identità. Si chiama ordinaria perché la funzione incognita dipende da una sola variabile, distinguendola dalle equazioni alle derivate parziali in cui le variabili sono più di una. L'ordine di una equazione differenziale è il massimo ordine di derivazione presente: y'+y=x ha ordine uno, mentre y''+3y'-2y=0 ha ordine due. Un esempio quotidiano è il riempimento di una vasca: se l'acqua entra con portata costante k, l'altezza h(t) soddisfa h'(t)=k, una semplicissima equazione del primo ordine. Da questa relazione, integrando, otteniamo h(t)=kt+c, una intera famiglia di soluzioni che si distinguono per il livello iniziale.
Soluzioni generali e problemi di Cauchy
Risolvere una equazione differenziale significa trovarne tutte le soluzioni, cioè quella che chiamiamo soluzione generale, contenente solitamente tante costanti arbitrarie quanto è l'ordine dell'equazione. Per esempio, l'equazione y'=cos(x) ha soluzione generale y(x)=sen(x)+c, dove c è una costante reale qualunque. Per scegliere una sola funzione dobbiamo aggiungere una condizione iniziale, come y(0)=2, ottenendo così un problema di Cauchy: nel nostro caso troviamo c=2 e quindi la soluzione particolare y(x)=sen(x)+2. Geometricamente, la soluzione generale è una famiglia di curve nel piano e la condizione iniziale seleziona quella che passa per un punto assegnato. Pensiamo a un sasso lanciato verso l'alto: la legge fisica è la stessa per tutti, ma il moto effettivo dipende dalla posizione e dalla velocità di partenza, che giocano il ruolo di condizioni iniziali. Per equazioni del secondo ordine servono due condizioni, tipicamente y(x₀) e y'(x₀), proprio come per descrivere il moto serve sia la posizione sia la velocità iniziale.
Le equazioni a variabili separabili
Una equazione differenziale del primo ordine si dice a variabili separabili se può essere scritta nella forma y'=f(x)·g(y), cioè con il secondo membro che si fattorizza in una parte dipendente solo da x e in una dipendente solo da y. La strategia risolutiva consiste nel riportare tutte le y da un lato e tutte le x dall'altro, per poi integrare separatamente. Seguiamo i passi su un esempio classico, l'equazione y'=xy:
- Scriviamo y' come dy/dx, ottenendo dy/dx=xy.
- Separiamo le variabili dividendo per y e moltiplicando per dx: dy/y=x dx, valida dove y≠0.
- Integriamo entrambi i membri: ∫dy/y=∫x dx, quindi ln|y|=x²/2+c.
- Esponenziamo e raccogliamo le costanti, ottenendo y=K·e^(x²/2), con K costante reale.
Un esempio quotidiano è il decadimento di un farmaco nel sangue: la velocità di smaltimento è proporzionale alla quantità ancora presente, cioè y'=-ky, equazione separabile la cui soluzione è y(t)=y₀·e^(-kt). Questo modello spiega perché, a intervalli di tempo uguali, la concentrazione del farmaco si dimezza sempre nella stessa proporzione, un comportamento detto esponenziale.
Modelli di crescita e decadimento
La più importante equazione differenziale che incontriamo è y'=ky, in cui la velocità di variazione è proporzionale al valore attuale della funzione. Se k è positivo descriviamo un fenomeno di crescita, come la riproduzione di batteri in condizioni ideali; se k è negativo descriviamo un decadimento, come quello radioattivo o il raffreddamento. La soluzione generale è y(x)=Ce^(kx), e la costante C coincide con il valore della funzione in x=0, cioè y(0)=C. Consideriamo per esempio una colonia di batteri che raddoppia ogni ora partendo da 1000 individui: imponendo y(0)=1000 e y(1)=2000 ricaviamo k=ln 2≈0,693 e quindi y(t)=1000·e^(0,693t). Anche il celebre interesse composto continuo segue questa legge: un capitale C₀ investito al tasso istantaneo r cresce secondo C(t)=C₀·e^(rt), perché in ogni istante gli interessi maturati vengono reinvestiti. La potenza di questo schema risiede nel fatto che fenomeni diversissimi obbediscono alla stessa legge matematica.
Verificare che una funzione è soluzione
Non sempre dobbiamo trovare la soluzione da zero: spesso ci viene proposta una funzione e dobbiamo solo verificare che soddisfa l'equazione. Il procedimento è meccanico ma istruttivo: si calcolano le derivate necessarie, si sostituiscono nell'equazione e si controlla l'identità. Verifichiamo per esempio che y(x)=e^(2x) è soluzione di y''-3y'+2y=0: abbiamo y'=2e^(2x) e y''=4e^(2x), quindi y''-3y'+2y=4e^(2x)-6e^(2x)+2e^(2x)=0, e l'identità è confermata. La stessa tecnica permette di confrontare due funzioni candidate e scegliere quella corretta, oppure di trovare il valore di un parametro libero. Nella pratica è il modo migliore per acquisire familiarità con il linguaggio delle equazioni differenziali, ancor prima di padroneggiare tutte le tecniche risolutive. Una volta verificato che una funzione è soluzione, possiamo poi imporle le condizioni iniziali per individuare la particolare curva richiesta.
Ricorda
I punti chiave da fissare sono i seguenti:
- Una equazione differenziale ha come incognita una funzione y(x) e ne coinvolge le derivate.
- L'ordine è il massimo grado di derivazione presente nell'equazione.
- La soluzione generale contiene tante costanti arbitrarie quanto l'ordine, mentre le condizioni iniziali individuano una soluzione particolare (problema di Cauchy).
- Una equazione del primo ordine a variabili separabili y'=f(x)g(y) si risolve scrivendo dy/g(y)=f(x)dx e integrando i due membri.
- L'equazione y'=ky ha come soluzione generale y=Ce^(kx) e modella crescite e decadimenti esponenziali.
Piccolo esercizio di verifica da svolgere sul quaderno: risolvi il problema di Cauchy y'=-2y con la condizione y(0)=5. Procedi così: separa le variabili scrivendo dy/y=-2 dx, integra entrambi i membri, esplicita y in funzione di x e infine imponi la condizione y(0)=5 per determinare la costante. Scrivi infine la soluzione nella forma y(x)=… e verifica, calcolando la derivata, che davvero soddisfa l'equazione di partenza.