Svolgi gli esercizi seguenti sul quaderno, riportando per ciascuno tutti i passaggi. Quando ti viene chiesto di risolvere un problema di Cauchy, scrivi prima l'integrale generale, poi determina la costante usando la condizione iniziale e infine verifica per sostituzione che la funzione trovata soddisfi davvero l'equazione.
- Qual è l'ordine dell'equazione differenziale $y''' + 2y'' - 5y' + y = \cos x$?
- A) 1
- B) 2
- C) 3
- D) 4
- L'integrale generale di un'equazione differenziale del secondo ordine contiene sempre due costanti arbitrarie indipendenti.
- Vero / Falso
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Un'equazione differenziale della forma $y' = g(x),h(y)$ si dice a variabili ___ e si risolve portando i termini in $y$ a sinistra e quelli in $x$ a destra, per poi integrare entrambi i membri.
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Associa ciascuna equazione differenziale al suo integrale generale, con $C$, $C_1$ e $C_2$ costanti reali arbitrarie. | Colonna A | Colonna B | |---|---| | $y' = \cos x$ | $y(x) = C,e^{-2x}$ | | $y' = -2y$ | $y(x) = C_1 x + C_2$ | | $y'' = 0$ | $y(x) = \ln x + C$ | | $y' = \frac{1}{x}$ con $x>0$ | $y(x) = \sin x + C$ |
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Risolvi il problema di Cauchy $y' = 4x^3$ con condizione iniziale $y(1) = 5$ e indica esplicitamente la soluzione particolare.
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Risolvi, con il metodo di separazione delle variabili, il problema di Cauchy $y' = -2x,y$ con $y(0) = 3$.
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Verifica, mediante sostituzione, che la funzione $y(x) = e^{2x}$ è soluzione dell'equazione differenziale $y'' - 4y = 0$, mostrando tutti i passaggi.
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Una popolazione di batteri cresce in modo che la sua velocità di aumento sia, in ogni istante, proporzionale al numero di individui presenti, con costante di proporzionalità $k = 0{,}2$ ore$^{-1}$. All'istante iniziale $t=0$ vi sono $N_0 = 500$ batteri. Scrivi l'equazione differenziale che modella il fenomeno, risolvila come problema di Cauchy e stima dopo quante ore la popolazione raddoppia.