Svolgi sul quaderno i 24 esercizi seguenti sull'introduzione alle equazioni differenziali. Quando ti viene chiesto di risolvere un'equazione, indica sempre le costanti arbitrarie e, se è dato un problema di Cauchy, scrivi anche la soluzione particolare. Motiva con cura ogni passaggio, soprattutto nelle separazioni di variabili e nell'uso del fattore integrante.
- Quale, tra le seguenti, è un'equazione differenziale ordinaria del secondo ordine?
- A) y' + 2y = x
- B) y'' - 3y' + y = sin(x)
- C) y = x² + 1
- D) (y')² + y = 0
- La soluzione generale di un'equazione differenziale del primo ordine contiene, in generale, una sola costante arbitraria.
- Vero / Falso
- L'equazione y' = x² + y² è un'equazione differenziale lineare.
- Vero / Falso
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L'ordine di un'equazione differenziale è il ___ ordine di derivazione che compare nell'equazione.
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Un problema di Cauchy è formato da un'equazione differenziale e da una o più condizioni ___.
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Associa ciascuna equazione differenziale alla sua classificazione corretta. | Colonna A | Colonna B | |---|---| | y' + 3y = 0 | lineare completa del secondo ordine | | y'' + 4y = cos(x) | non lineare a variabili separabili del primo ordine | | y' = x·y² | non lineare del secondo ordine | | (y'')² + y = 0 | lineare omogenea del primo ordine |
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La funzione y(x) = e^(2x) è soluzione di quale tra le seguenti equazioni?
- A) y' - 2y = 0
- B) y' + 2y = 0
- C) y'' + 4y = 0
- D) y' - y = 0
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Verifica che la funzione y(x) = x² + C è soluzione dell'equazione y' = 2x e determina, in particolare, la soluzione che soddisfa la condizione y(1) = 5.
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Verifica che y(x) = A·cos(x) + B·sin(x) è soluzione dell'equazione y'' + y = 0 per ogni scelta delle costanti A e B.
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Risolvi l'equazione a variabili separabili y' = 3x²·y e determina la soluzione particolare che soddisfa y(0) = 2.
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Risolvi l'equazione differenziale y' = y/x con x > 0 e trova la soluzione tale che y(1) = 4.
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Risolvi l'equazione lineare del primo ordine y' + 2y = 4 e determina la soluzione che soddisfa y(0) = 1.
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Una tazza di tè a temperatura iniziale 80 °C si raffredda in una stanza a 20 °C secondo la legge T'(t) = -0,1·(T - 20), con t in minuti. Determina T(t) e calcola dopo quanti minuti la temperatura scende a 50 °C.
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La soluzione generale dell'equazione y' = k·y, con k costante reale, è:
- A) y(x) = k·x + C
- B) y(x) = C·e^(k·x)
- C) y(x) = C·x^k
- D) y(x) = e^(x) + k
- L'equazione y'' + 4y = 0 ha come soluzione generale y(x) = A·cos(2x) + B·sin(2x), con A e B costanti reali arbitrarie.
- Vero / Falso
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Un'equazione differenziale lineare del primo ordine ha la forma y' + a(x)·y = b(x); se b(x) = 0 si dice ___.
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Quale tra le seguenti equazioni NON è a variabili separabili?
- A) y' = x·y
- B) y' = (1 + x)/(1 + y)
- C) y' = x + y
- D) y' = e^x·cos(y)
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Risolvi il problema di Cauchy y' = -y, y(0) = 5 e interpreta fisicamente la soluzione nel contesto del decadimento radioattivo.
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Spiega con parole tue, in al massimo cinque righe, la differenza tra soluzione generale e soluzione particolare di un'equazione differenziale.
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Illustra il metodo del fattore integrante per la risoluzione di un'equazione lineare del primo ordine y' + a(x)·y = b(x), descrivendo i passaggi e spiegando perché il fattore μ(x) = e^(∫a(x)dx) trasforma il primo membro nella derivata di un prodotto.
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Determina la soluzione generale dell'equazione differenziale y' = x·(1 + y²).
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Associa ciascuna equazione differenziale alla sua soluzione generale. | Colonna A | Colonna B | |---|---| | y' = 0 | y(x) = x + C | | y' = 1 | y(x) = C·e^x | | y' = y | y(x) = C₁·x + C₂ | | y'' = 0 | y(x) = C |
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Descrivi un fenomeno della vita quotidiana, diverso dal raffreddamento di una bevanda, che possa essere modellato con un'equazione differenziale del primo ordine, scrivendo esplicitamente l'equazione e indicando il significato delle costanti.
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Un capitale C(t) cresce secondo l'equazione C'(t) = 0,05·C(t), con t in anni. Sapendo che C(0) = 2000 euro, determina C(t) e calcola, con la precisione consentita dai logaritmi, dopo quanti anni il capitale raddoppia.