Svolgi gli esercizi seguenti sul quaderno, mostrando con cura tutti i passaggi. Per ogni equazione differenziale specifica l'ordine, indica se hai trovato una soluzione generale o particolare e, quando possibile, verifica per sostituzione che la funzione ottenuta soddisfa davvero l'equazione. Negli esercizi a risposta chiusa giustifica brevemente la scelta a margine.
- Qual è l'ordine dell'equazione differenziale y''' + 2y'' - sen(x)·y' + y = e^x?
- A) 1
- B) 2
- C) 3
- D) 4
- La funzione y(x) = 3x² è soluzione dell'equazione differenziale y' = 6x.
- Vero / Falso
- Quale tra le seguenti equazioni è a variabili separabili?
- A) y' = x + y
- B) y' = x·cos(y)
- C) y' = sen(x + y)
- D) y' = y² + x²
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La soluzione generale dell'equazione y' = 4y è y(x) = C·e^(___·x).
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Risolvi il problema di Cauchy y' = 3x², y(1) = 5.
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Risolvi l'equazione a variabili separabili y' = x·y, esprimendo la soluzione generale.
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Associa ciascuna equazione differenziale alla sua soluzione generale. | Colonna A | Colonna B | |---|---| | y' = 0 | y = x² + C | | y' = 2x | y = C·e^x | | y' = y | y = sen(x) + C | | y' = cos(x) | y = C |
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Spiega in poche righe la differenza tra soluzione generale e soluzione particolare di una equazione differenziale.
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Considera il problema di Cauchy y' = -y, y(0) = 2. La soluzione è:
- A) y(x) = 2·e^x
- B) y(x) = 2·e^(-x)
- C) y(x) = -2·e^x
- D) y(x) = e^(-x) + 1
- Una equazione differenziale del secondo ordine ha bisogno, in generale, di due condizioni iniziali per individuare una soluzione particolare.
- Vero / Falso
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Una sostanza radioattiva decade secondo la legge N'(t) = -0,2·N(t), dove t è espresso in anni. Sapendo che al tempo t = 0 la massa è N(0) = 100 grammi, determina N(t) e calcola dopo quanti anni la massa si riduce a 50 grammi.
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Per individuare una soluzione particolare di una equazione differenziale di ordine n occorrono in generale ___ condizioni iniziali.
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Verifica che la funzione y(x) = e^x + e^(-x) è soluzione dell'equazione differenziale y'' - y = 0 e determina i valori di y(0) e y'(0).
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L'equazione differenziale y' = k·y, con k costante positiva, modella correttamente:
- A) Un fenomeno periodico come un'oscillazione
- B) Una crescita esponenziale (es. popolazione ideale)
- C) Un moto rettilineo uniforme
- D) Un raffreddamento verso la temperatura ambiente
- Risolvi il problema di Cauchy y' = y² (con y > 0) e condizione iniziale y(0) = 1; precisa il dominio della soluzione trovata.