Svolgi i seguenti esercizi sui limiti di funzione mostrando, dove richiesto, tutti i passaggi sul quaderno. Per ciascun esercizio motiva la scelta del metodo (sostituzione diretta, scomposizione, razionalizzazione, raccoglimento, limite notevole) e, quando hai un risultato numerico, controlla che sia coerente con il comportamento atteso della funzione. Buon lavoro!
- Qual è il valore di lim(x→2) (x² + 3x − 1)?
- A) 7
- B) 9
- C) 11
- D) 6
- Calcola lim(x→1) (x²−1)/(x−1).
- A) 0
- B) 1
- C) 2
- D) Non esiste
- Se f(x) è definita in x = c, allora lim(x→c) f(x) coincide sempre con f(c).
- Vero / Falso
- Il limite lim(x→0) sin(x)/x vale 1.
- Vero / Falso
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Una funzione è continua in c quando lim(x→c) f(x) è uguale a ___.
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Il limite lim(x→±∞) (1 + 1/x)^x è uguale a ___.
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Associa ciascun limite alla forma indeterminata che genera per sostituzione diretta. | Colonna A | Colonna B | |---|---| | lim(x→0) sin(x)/x | ∞/∞ | | lim(x→+∞) (2x+1)/(x−3) | ∞−∞ | | lim(x→+∞) (√(x²+x) − x) | 0·∞ | | lim(x→0⁺) x·ln(x) | 0/0 |
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Associa ciascuna funzione al tipo di asintoto presente. | Colonna A | Colonna B | |---|---| | f(x) = 1/(x−2) | asintoto orizzontale y = 3 | | f(x) = (3x+1)/(x+4) | asintoto obliquo y = x | | f(x) = (x²+1)/x | asintoto orizzontale y = 0 a −∞ | | f(x) = e^x | asintoto verticale x = 2 |
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Calcola lim(x→3) (x²−9)/(x−3) mostrando tutti i passaggi.
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Calcola lim(x→+∞) (4x³ − 2x + 1)/(2x³ + 5x²).
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Calcola lim(x→0) sin(5x)/(3x) usando il limite notevole.
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Calcola lim(x→+∞) (√(x²+3x) − x) razionalizzando.
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Quanto vale lim(x→+∞) (5x² + 7)/(x² − 4)?
- A) 0
- B) 1
- C) 5
- D) +∞
- Quanto vale lim(x→0) (e^(2x) − 1)/x?
- A) 0
- B) 1
- C) 2
- D) e
- Se lim(x→c⁻) f(x) = 3 e lim(x→c⁺) f(x) = 5, allora lim(x→c) f(x) = 4.
- Vero / Falso
- La funzione f(x) = 1/x ha un asintoto verticale di equazione x = 0.
- Vero / Falso
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Nella forma indeterminata ∞/∞ tra polinomi, se il grado del numeratore è minore del grado del denominatore, il limite vale ___.
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Una discontinuità si dice ___ quando i limiti laterali esistono finiti ma sono diversi tra loro.
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Spiega con parole tue cosa significa scrivere lim(x→c) f(x) = L.
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Descrivi la differenza tra una discontinuità eliminabile e una di prima specie, portando un esempio per ciascuna.
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Studia l'esistenza del limite per x → 0 della funzione definita a tratti: f(x) = x+1 se x<0, f(x) = x²+2 se x≥0.
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Determina gli asintoti della funzione f(x) = (2x² + 3)/(x − 1).
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Spiega cos'è una forma indeterminata, elenca almeno quattro tipi diversi e descrivi per ciascuno una strategia di risoluzione tipica.
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Considera la funzione f(x) = (sin(x))/x prolungata con f(0) = 1. Discuti se la funzione così definita è continua in x = 0, motivando rigorosamente la risposta e descrivendo come questo esempio illustri il legame tra limiti notevoli e continuità.