Che cos'è una successione
Una successione è un elenco ordinato di numeri costruito secondo una regola precisa, e le progressioni aritmetiche e geometriche sono i due casi più importanti che incontri al quarto anno.
In matematica chiamiamo successione una funzione che associa a ogni numero naturale n un valore reale, indicato con il simbolo $a_n$. Il pedice n ti dice quale posto occupa quel termine nell'elenco, mentre l'espressione di $a_n$ ti dice come calcolarlo a partire da n. Possiamo definire una successione in due modi diversi: in forma esplicita, scrivendo direttamente la formula del termine generale, oppure in forma ricorsiva, indicando il primo termine e una regola che lega ciascun termine al precedente. La forma esplicita è comoda quando devi calcolare un termine lontano senza passare per tutti i precedenti, mentre quella ricorsiva mette bene in evidenza il legame fra un passo e il successivo. Per esempio, la successione definita da $a_n = 2n+1$ produce in forma esplicita i numeri dispari 3, 5, 7, 9, 11, e la stessa sequenza si ottiene in forma ricorsiva ponendo $a_1=3$ e $a_{n+1}=a_n+2$. Comprendere bene questa doppia rappresentazione è il punto di partenza per riconoscere subito se hai davanti una progressione e di quale tipo si tratta.
Progressioni aritmetiche e geometriche
Una progressione aritmetica è una successione in cui la differenza fra un termine e il precedente è sempre la stessa, e questa differenza costante si chiama ragione e si indica con d. Il termine generale si scrive come $a_n = a_1 + (n-1)\cdot d$, mentre la somma dei primi n termini segue la formula $S_n = \dfrac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}$, che possiamo leggere come la media dei due estremi moltiplicata per il numero dei termini. Una progressione geometrica, invece, è una successione in cui il rapporto fra un termine e il precedente è costante: questo rapporto si chiama ragione e si indica con q, con la condizione che q sia diverso da zero. In questo caso il termine generale è $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$ e la somma dei primi n termini, quando q è diverso da 1, vale $S_n = a_1 \cdot \dfrac{1-q^n}{1-q}$, formula che useremo molto anche al quinto anno parlando di serie. Per riconoscere se una successione è aritmetica calcoli la differenza fra termini consecutivi, mentre per testarne il carattere geometrico calcoli il loro rapporto, verificando che il risultato non cambi. Considera per esempio la sequenza 5, 10, 20, 40, 80: i rapporti consecutivi valgono tutti 2, quindi si tratta di una progressione geometrica con $a_1=5$ e $q=2$, il cui sesto termine è $a_6=5\cdot 2^5=160$.
Ricorda
- Una progressione aritmetica ha ragione d additiva e termine generale $a_n=a_1+(n-1)d$; una progressione geometrica ha ragione q moltiplicativa e termine generale $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$.
- Per la somma dei primi n termini usa $S_n=\dfrac{(a_1+a_n),n}{2}$ nel caso aritmetico e $S_n=a_1\dfrac{1-q^n}{1-q}$ nel caso geometrico con $q\neq 1$.
- Verifica sul quaderno: data la successione 7, 11, 15, 19, 23, … stabilisci se è aritmetica o geometrica, individua la ragione, scrivi il termine generale e calcola la somma dei primi venti termini.