Le successioni sono liste ordinate e infinite di numeri costruite con una regola precisa: tra queste, le progressioni aritmetiche e geometriche sono le più importanti perché modellizzano crescite lineari ed esponenziali che incontriamo nella vita reale, dall'interesse composto alla riproduzione cellulare.
Che cos'è una successione
Una successione numerica è una funzione che ad ogni numero naturale associa un numero reale, cioè un modo ordinato di disporre i numeri uno dopo l'altro. La scriviamo come $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots$ dove l'indice $n$ indica la posizione del termine all'interno della lista. Possiamo pensarla come una passeggiata in cui ogni passo ha un valore numerico stabilito da una regola condivisa con chi ci osserva. Per esempio, la successione dei numeri dispari $1, 3, 5, 7, 9, \dots$ ha come regola $a_n = 2n-1$, e ci permette di calcolare immediatamente il centesimo termine senza scrivere tutti i precedenti. Un altro esempio quotidiano è il numero di messaggi ricevuti ogni giorno della settimana: se li scrivi in ordine, stai costruendo una successione finita di sette valori. La cosa interessante è che la regola non è sempre unica e può essere espressa in modi diversi, come vedremo.
Una successione può essere finita oppure infinita, ma quando in matematica diciamo semplicemente successione intendiamo quasi sempre quella infinita. La rappresentazione grafica avviene su un piano cartesiano dove sull'asse delle ascisse si pongono i valori di $n$ (numeri naturali) e sulle ordinate i valori $a_n$. Otteniamo quindi un insieme di punti isolati, non una curva continua, perché tra un termine e l'altro non c'è nulla.
Definizione per termine generale e per ricorrenza
Esistono due modi principali per definire una successione: la formula del termine generale e la legge di ricorrenza. Nel primo caso scriviamo direttamente $a_n$ in funzione di $n$, come in $a_n = n^2 + 1$, che produce $2, 5, 10, 17, 26, \dots$ permettendoci di calcolare qualunque termine senza conoscere i precedenti. Nel secondo caso forniamo uno o più valori iniziali e una regola che lega ogni termine ai precedenti, come $a_1 = 3$ e $a_{n+1} = 2 a_n + 1$, che genera $3, 7, 15, 31, \dots$ in cui per ottenere un termine devi necessariamente conoscere quello che lo precede. Un esempio quotidiano della formula esplicita è il calcolo dell'età di un bambino tra $n$ anni: se oggi ha $5$ anni, allora $a_n = 5 + n$ ti dà la sua età futura. Un esempio di ricorrenza è invece il saldo di un conto su cui ogni mese aggiungi un certo importo dopo averlo aumentato di una percentuale: per sapere quanto avrai a marzo devi prima calcolare febbraio.
La celebre successione di Fibonacci $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \dots$, definita da $a_1 = a_2 = 1$ e $a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$, è un esempio classico di definizione ricorsiva e descrive sorprendentemente molte strutture naturali, dalle spirali delle conchiglie ai petali dei fiori.
Successioni monotone e limitate
Quando studi una successione ti chiedi spesso come si comporta: cresce, decresce, oscilla, si stabilizza? Si dice che una successione è crescente se ogni termine è maggiore o uguale al precedente, cioè se $a_{n+1} \geq a_n$ per ogni $n$, e strettamente crescente se la disuguaglianza è stretta. Analogamente è decrescente se $a_{n+1} \leq a_n$. Per esempio, la successione $a_n = \frac{1}{n}$ vale $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$ ed è strettamente decrescente perché ogni frazione è più piccola della precedente. Una successione è invece limitata se esistono due numeri reali $m$ ed $M$ tali che $m \leq a_n \leq M$ per ogni $n$: nell'esempio precedente abbiamo $0 < a_n \leq 1$, quindi è limitata. Un esempio concreto di successione crescente e limitata è il numero di iscritti a una palestra che apre nuove sale ma ha una capienza massima: cresce nel tempo ma non supererà mai la soglia imposta dalle norme di sicurezza.
La progressione aritmetica
Una progressione aritmetica è una successione in cui la differenza fra un termine qualsiasi e il precedente è costante: questa costante si chiama ragione e si indica con $d$. La formula del termine generale è $a_n = a_1 + (n-1) d$, dove $a_1$ è il primo termine. Per esempio, partendo da $a_1 = 4$ con ragione $d = 3$ otteniamo $4, 7, 10, 13, 16, 19, \dots$ e per calcolare il ventesimo termine basta scrivere $a_{20} = 4 + 19 \cdot 3 = 61$. La somma dei primi $n$ termini di una progressione aritmetica è $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$, formula attribuita al giovane Gauss che la usò per sommare i numeri da $1$ a $100$ ottenendo $5050$ in pochi secondi. Un altro caso quotidiano è la pila di scatole in un magazzino: se nella prima fila ci sono $50$ scatole, nella seconda $48$ e così via con ragione $-2$, puoi calcolare quante scatole hai usato in totale alla quindicesima fila.
Una proprietà elegante delle progressioni aritmetiche è che tre numeri $a$, $b$, $c$ sono in progressione aritmetica se e solo se $b = \frac{a+c}{2}$, cioè il termine centrale è la media aritmetica degli altri due. Questa proprietà permette di interpolare facilmente termini mancanti e di riconoscere subito se una sequenza data segue questo schema.
La progressione geometrica
Una progressione geometrica è una successione in cui il rapporto fra un termine qualsiasi e il precedente è costante: questa costante si chiama ragione e si indica con $q$, dove richiediamo $q \neq 0$ e di solito anche $a_1 \neq 0$. La formula del termine generale è $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$ e la somma dei primi $n$ termini (per $q \neq 1$) è $S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$. Per esempio, una colonia di batteri che raddoppia ogni ora a partire da $200$ individui segue la progressione $200, 400, 800, 1600, \dots$ con $q = 2$, e dopo $10$ ore avrai $200 \cdot 2^{10} = 204800$ batteri. Un secondo esempio fondamentale è il capitale investito a interesse composto: con tasso annuo del $5%$ e capitale iniziale $1000$ euro, dopo $n$ anni avrai $1000 \cdot 1{,}05^n$, cioè una progressione geometrica con $q = 1{,}05$. Quando $|q| < 1$ la somma dei termini, anche se infiniti, tende a un valore finito chiamato somma della serie geometrica: $S = \frac{a_1}{1-q}$, un risultato controintuitivo che spiega il celebre paradosso di Zenone sulla freccia.
Tre numeri $a$, $b$, $c$ sono in progressione geometrica (con segno concorde) se e solo se $b^2 = a \cdot c$, cioè il termine centrale è la media geometrica degli altri due. Questa caratterizzazione permette di completare facilmente terne incomplete o di verificare se tre dati formano effettivamente una progressione geometrica.
Confronto fra crescita lineare ed esponenziale
La differenza fra una progressione aritmetica e una geometrica non è solo formale ma riguarda due modi profondamente diversi di crescere: lineare nel primo caso, esponenziale nel secondo. Se ogni mese aggiungi $100$ euro al tuo salvadanaio parti con una crescita aritmetica costante; se invece i tuoi risparmi rendono il $10%$ mensile, la crescita è geometrica e dopo pochi anni il capitale esplode in modo sorprendente. Per piccoli valori di $n$ la differenza è poco visibile, ma per $n$ grande la progressione geometrica con $q > 1$ supera inesorabilmente qualunque progressione aritmetica, indipendentemente dalla ragione di partenza. Pensa alla leggenda del re e del saggio inventore degli scacchi: chiedendo un chicco di grano sulla prima casella, due sulla seconda, quattro sulla terza e così via, il saggio arrivò a un totale di $2^{64} - 1$ chicchi, una quantità superiore a tutta la produzione mondiale di grano. Questo confronto è fondamentale anche in informatica, dove un algoritmo lineare rimane praticabile su grandi dati mentre uno esponenziale diventa rapidamente inutilizzabile.
Un altro esempio concreto è l'evoluzione di un virus: nei primi giorni il numero di contagi sembra modesto, poi cresce in modo geometrico fino a saturare la popolazione esposta, dopo di che la curva si appiattisce e la crescita esponenziale si interrompe naturalmente.
Strategie per riconoscere e risolvere
Quando ti trovi davanti a una sequenza di numeri, la prima domanda è: c'è una regola? Per scoprirlo conviene seguire una procedura ordinata e sistematica.
- Calcola le differenze tra termini consecutivi: se sono costanti, è una progressione aritmetica.
- Se le differenze non sono costanti, calcola i rapporti tra termini consecutivi: se sono costanti, è una progressione geometrica.
- Se né le differenze né i rapporti sono costanti, prova con le differenze seconde, cerca un legame ricorsivo oppure ipotizza una formula polinomiale.
- Una volta riconosciuto il tipo, scrivi $a_1$ e $d$ (oppure $q$) e applica le formule del termine generale e della somma.
- Verifica sempre con un termine già noto per evitare errori di calcolo.
Applichiamo la procedura alla sequenza $5, 8, 11, 14, 17$: la differenza è sempre $3$, dunque è una progressione aritmetica con $a_1 = 5$ e $d = 3$, e quindi $a_n = 5 + (n-1) \cdot 3 = 3n + 2$. Un secondo esempio: $2, 6, 18, 54$ ha rapporto costante $3$, quindi è geometrica con $a_1 = 2$ e $q = 3$, e $a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$. Questa procedura ti renderà autonomo nello studio di qualsiasi sequenza.
Ricorda
- Una successione è una lista ordinata di numeri definita da una regola, esplicita o ricorsiva.
- Nella progressione aritmetica si somma sempre la stessa ragione $d$: $a_n = a_1 + (n-1) d$.
- Nella progressione geometrica si moltiplica sempre per la stessa ragione $q$: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$.
- Le somme parziali sono $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ (aritmetica) e $S_n = a_1 \frac{1 - q^n}{1 - q}$ (geometrica, $q \neq 1$).
- Per riconoscere una progressione controlla prima le differenze, poi i rapporti.
Esercizio di verifica sul quaderno: considera la successione $7, 11, 15, 19, 23, \dots$. Scrivi sul quaderno: (a) di che tipo di progressione si tratta e perché, (b) la formula del termine generale, (c) il valore di $a_{30}$, (d) la somma dei primi $30$ termini. Confronta i risultati con un compagno e discuti i passaggi seguiti.