Le successioni sono liste ordinate di numeri costruite secondo una regola precisa, e le progressioni aritmetiche e geometriche sono i due esempi più studiati per la loro eleganza e per le numerose applicazioni in economia, fisica e biologia.
Immagina di salire una scala in cui ogni gradino è alto esattamente quanto il precedente, oppure di osservare la popolazione di batteri che raddoppia ogni ora dentro una piastra di laboratorio. In entrambi i casi stai osservando una successione, cioè una sequenza ordinata di numeri che obbedisce a una legge ben definita. La matematica ti permette di descrivere queste situazioni con una formula compatta, di prevedere il valore di un termine molto lontano e di calcolare somme che, se affrontate a mano, richiederebbero ore di lavoro. Studiare le successioni significa quindi imparare a riconoscere regolarità nascoste, a tradurle in linguaggio simbolico e a sfruttarle per risolvere problemi concreti. In questa lezione costruiremo passo dopo passo gli strumenti necessari per padroneggiare l'argomento.
Che cos'è una successione
Una successione numerica è una funzione che associa a ogni numero naturale n un numero reale chiamato termine, indicato di solito con il simbolo a_n. Il pedice n serve a indicare la posizione del termine all'interno della lista, e la regola che lega n al valore a_n prende il nome di termine generale o legge della successione. Per esempio, la legge a_n = 2n + 1 genera i numeri 3, 5, 7, 9, 11 e così via, perché basta sostituire n = 1, 2, 3, 4, 5 nell'espressione per ottenere i primi termini. Una successione può essere definita anche per ricorrenza, indicando il primo termine e la regola che permette di calcolare il termine successivo a partire dal precedente. Un esempio celebre è la successione di Fibonacci, in cui ogni termine è la somma dei due precedenti a partire da 1 e 1, generando 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13. Riconoscere se una successione è data in forma esplicita o ricorsiva è il primo passo per studiarne le proprietà.
La progressione aritmetica
Una progressione aritmetica è una successione in cui la differenza tra un termine e quello che lo precede è costante: questa differenza si chiama ragione e si indica con d. La sua definizione ricorsiva è a_n = a_(n-1) + d, mentre la formula esplicita del termine n-esimo è a_n = a_1 + (n − 1) · d, dove a_1 è il primo termine della sequenza. Immagina di mettere in salvadanaio 12 euro il primo mese, 15 il secondo, 18 il terzo: stai costruendo una progressione aritmetica con primo termine 12 e ragione 3, e dopo dodici mesi avrai messo da parte a_12 = 12 + 11 · 3 = 45 euro nell'ultimo versamento. Una proprietà elegante è che ogni termine intermedio è la media aritmetica del precedente e del successivo, cioè a_n = (a_(n-1) + a_(n+1)) / 2. Per sommare i primi n termini si usa la formula scoperta dal giovane Gauss, S_n = n · (a_1 + a_n) / 2, che si dimostra accoppiando i termini estremi della somma. Applicando questa formula al salvadanaio, il totale versato in un anno è S_12 = 12 · (12 + 45) / 2 = 342 euro, un risultato ottenuto senza fare dodici addizioni separate.
La progressione geometrica
Una progressione geometrica è invece una successione in cui il rapporto tra ogni termine e il precedente è costante: questo rapporto si chiama ragione e si indica con q, con la condizione che q sia diverso da zero. La definizione ricorsiva è a_n = a_(n-1) · q, mentre la formula esplicita è a_n = a_1 · q^(n − 1), dove l'esponente cresce di una unità a ogni passo. Pensa a un'auto che perde ogni anno il 20 per cento del proprio valore: se costa 18000 euro all'acquisto, dopo un anno vale 18000 · 0,8 = 14400 euro, dopo due anni 11520 euro e così via, secondo la formula a_n = 18000 · 0,8^(n − 1) riferita all'inizio dell'anno n-esimo. Ogni termine intermedio è la media geometrica del precedente e del successivo, quindi vale la relazione a_n^2 = a_(n-1) · a_(n+1) quando tutti i termini hanno lo stesso segno. La somma dei primi n termini, quando q è diverso da 1, è data dalla formula S_n = a_1 · (1 − q^n) / (1 − q), che si ricava moltiplicando la somma per q e sottraendola alla somma originale. Quando il valore assoluto di q è minore di 1 e n cresce indefinitamente, la somma tende al limite finito a_1 / (1 − q), e questo risultato sorprendente apre la strada al concetto di serie convergente.
Come riconoscere e modellare le successioni
Davanti a una sequenza numerica conviene seguire una procedura ordinata per capire di quale tipo di successione si tratta e quale formula applicare. Ecco i passaggi che ti suggerisco di tenere sempre presenti durante un esercizio o un problema applicato.
- Calcola le differenze a_2 − a_1, a_3 − a_2, a_4 − a_3 e verifica se sono tutte uguali: in caso affermativo la successione è aritmetica con ragione d pari a quella differenza comune.
- Calcola i rapporti a_2 / a_1, a_3 / a_2, a_4 / a_3 e verifica se sono tutti uguali: in caso affermativo la successione è geometrica con ragione q pari a quel rapporto comune.
- Identifica il primo termine a_1 e scrivi la formula esplicita corretta, prestando attenzione al fatto che l'esponente di q è n − 1 e non n.
- Traduci il problema concreto nella notazione simbolica, indicando chiaramente cosa rappresentano a_1, la ragione e il numero di termini coinvolti.
- Decidi se ti interessa un singolo termine, e allora userai la formula esplicita, oppure una somma, e allora userai la formula di S_n adatta al tipo di progressione.
Un esempio quotidiano: un corso di lingua straniera prevede che a ogni lezione tu impari il doppio dei vocaboli rispetto alla precedente, partendo da 4 parole. La successione è geometrica con a_1 = 4 e q = 2, perciò alla decima lezione imparerai a_10 = 4 · 2^9 = 2048 parole, un numero che mostra quanto rapidamente cresca una progressione geometrica con ragione maggiore di uno.
Applicazioni e collegamenti con altri argomenti
Le progressioni non sono un capitolo isolato del programma di quarta liceo, ma si intrecciano con la finanza, con la statistica e con i futuri studi di analisi matematica. Il calcolo dell'interesse composto, per esempio, si basa interamente sulla formula della progressione geometrica, perché un capitale C investito al tasso annuo i diventa C · (1 + i)^n dopo n anni e i montanti annuali formano appunto una progressione geometrica di ragione 1 + i. Anche il pagamento di una rata costante di un mutuo si modella con la somma di una progressione geometrica, sfruttando la formula di S_n per ricavare la rata che ammortizza un debito in un numero prefissato di anni. Le applicazioni non si fermano alla finanza: nei circuiti elettrici, nella decadenza radioattiva e nella crescita delle popolazioni biologiche compaiono progressioni geometriche, mentre le progressioni aritmetiche descrivono moti uniformemente accelerati o piani di rientro a quota costante. Imparare a riconoscere queste strutture significa avere uno strumento potente per leggere il mondo. Ogni volta che incontri una crescita costante o una variazione percentuale fissa, dovrebbe scattare il riflesso di chiederti se si tratta di una progressione aritmetica o geometrica.
Ricorda
- Una successione è una lista ordinata di numeri descritta da una legge, in forma esplicita a_n oppure ricorsiva con primo termine e regola di passaggio.
- Una progressione aritmetica ha ragione d costante, formula esplicita a_n = a_1 + (n − 1) · d e somma S_n = n · (a_1 + a_n) / 2.
- Una progressione geometrica ha ragione q costante, formula esplicita a_n = a_1 · q^(n − 1) e somma S_n = a_1 · (1 − q^n) / (1 − q) per q diverso da 1.
- In una progressione aritmetica ogni termine è media aritmetica dei vicini, in una geometrica il quadrato di ogni termine è il prodotto dei vicini.
- Per riconoscere il tipo di progressione calcola differenze e rapporti tra termini consecutivi e cerca quale dei due risulta costante.
Esercizio di verifica da svolgere sul quaderno: considera la successione 5, 9, 13, 17, 21, ... Stabilisci se è aritmetica o geometrica, scrivi la formula del termine generale, calcola il ventesimo termine e infine determina la somma dei primi venti termini, mostrando tutti i passaggi e verificando il risultato con un controllo numerico parziale.