Risolvi i seguenti esercizi sul tuo quaderno mostrando tutti i passaggi. Per ogni progressione individua chiaramente il primo termine, la ragione, il tipo (aritmetica o geometrica) e applica con cura le formule. Quando ti viene chiesto di motivare una risposta, scrivi una spiegazione completa, anche solo di due righe.
- Quale fra le seguenti successioni è una progressione aritmetica?
- A) 2, 4, 8, 16, 32
- B) 3, 7, 11, 15, 19
- C) 1, 1, 2, 3, 5
- D) 2, 6, 18, 54, 162
- In una progressione geometrica con $a_1 = 5$ e ragione $q = 2$, quanto vale $a_6$?
- A) 80
- B) 160
- C) 320
- D) 32
- La formula del termine generale di una progressione aritmetica è $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$.
- Vero / Falso
- Se in una successione i rapporti tra termini consecutivi sono tutti uguali a $\frac{1}{2}$, allora la successione è una progressione geometrica.
- Vero / Falso
-
Completa: in una progressione aritmetica la somma dei primi $n$ termini vale $S_n = \frac{n(a_1 + ___)}{2}$.
-
Completa: tre numeri $a$, $b$, $c$ sono in progressione geometrica (con segno concorde) se e solo se $b^2 = a \cdot ___$.
-
Associa ciascuna successione al suo tipo. | Colonna A | Colonna B | |---|---| | 4, 9, 14, 19, 24 | Progressione geometrica con q = 2 | | 3, 6, 12, 24, 48 | Progressione aritmetica con d = -10 | | 100, 90, 80, 70, 60 | Progressione geometrica con q = 1/3 | | 81, 27, 9, 3, 1 | Progressione aritmetica con d = 5 |
-
Calcola il quindicesimo termine della progressione aritmetica con $a_1 = -2$ e $d = 4$.
-
In una progressione aritmetica si ha $a_5 = 17$ e $a_{12} = 45$. Determina $a_1$ e la ragione $d$.
-
Calcola la somma dei primi $20$ termini della progressione aritmetica $3, 7, 11, 15, \dots$.
-
In una progressione geometrica $a_1 = 3$ e $q = 2$. Calcola $a_8$ e la somma dei primi $8$ termini.
-
In una progressione geometrica $a_3 = 18$ e $a_5 = 162$. Determina $a_1$ e la ragione $q$ (con $q > 0$).
-
Quanto vale la somma $1 + 2 + 3 + \dots + 100$?
- A) 5000
- B) 5050
- C) 10100
- D) 2550
- La successione $a_n = (-1)^n$ è:
- A) Crescente
- B) Decrescente
- C) Limitata ma non monotona
- D) Illimitata
- Nella successione di Fibonacci ogni termine si ottiene moltiplicando il precedente per una ragione costante.
- Vero / Falso
-
Completa: la somma di una serie geometrica con $|q| < 1$ vale $S = \frac{a_1}{1 - ___}$.
-
Collega ogni progressione alla sua somma dei primi $5$ termini. | Colonna A | Colonna B | |---|---| | Aritmetica con a_1 = 2 e d = 3 | 30 | | Aritmetica con a_1 = 10 e d = -2 | 31 | | Geometrica con a_1 = 1 e q = 2 | 484 | | Geometrica con a_1 = 4 e q = 3 | 40 |
-
Quanti termini della progressione aritmetica $5, 9, 13, 17, \dots$ occorrono affinché la somma raggiunga $945$?
-
Una popolazione di insetti raddoppia ogni settimana. Se oggi è formata da $250$ individui, quanti ce ne saranno dopo $6$ settimane e quanti complessivamente in queste $6$ settimane (oggi escluso)?
-
Spiega con parole tue la differenza tra crescita aritmetica e crescita geometrica, citando un esempio quotidiano per ciascuna.
-
Dimostra che in una progressione aritmetica vale la proprietà $a_k + a_{n-k+1} = a_1 + a_n$ per ogni $k$ compreso tra $1$ e $n$, e spiega come questa proprietà giustifichi la formula della somma $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$.
-
Inserisci tre medi aritmetici tra $4$ e $20$, cioè trova una progressione aritmetica con primo termine $4$ e ultimo termine $20$ formata da cinque numeri.
-
Inserisci due medi geometrici positivi tra $2$ e $54$, cioè trova una progressione geometrica con primo termine $2$ e ultimo termine $54$ formata da quattro numeri.
-
Per quale valore di $x$ i numeri $x - 2$, $x + 1$ e $2x + 4$ sono in progressione aritmetica? Mostra il ragionamento.
-
Calcola la somma della serie geometrica $1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \dots$ e spiega perché il risultato è un numero finito nonostante la somma contenga infiniti termini.