Svolgi gli esercizi seguenti sul quaderno, indicando per ciascuno i dati di partenza, la formula utilizzata e i passaggi di calcolo. Quando il problema lo richiede, distingui con chiarezza tra progressione aritmetica e geometrica e verifica sempre la coerenza del risultato finale.
- La successione definita da a_n = 7 + 4(n − 1) è una progressione:
- A) aritmetica con ragione 4
- B) aritmetica con ragione 7
- C) geometrica con ragione 4
- D) geometrica con ragione 7
- In una progressione geometrica di ragione q diversa da 1 la somma dei primi n termini si calcola con la formula S_n = a_1 · (1 − q^n) / (1 − q).
- Vero / Falso
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In una progressione aritmetica il termine generale è a_n = a_1 + (n − 1) · ___, dove la lettera indica la ragione della progressione.
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Associa ogni successione al tipo corretto di progressione e relativa ragione. | Colonna A | Colonna B | |---|---| | 2, 6, 18, 54, 162 | aritmetica con ragione 5 | | 3, 8, 13, 18, 23 | geometrica con ragione 1/2 | | 64, 32, 16, 8, 4 | aritmetica con ragione -3 | | 20, 17, 14, 11, 8 | geometrica con ragione 3 |
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In una progressione aritmetica il primo termine è 6 e la ragione è 4. Calcola il quindicesimo termine e la somma dei primi quindici termini.
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In una progressione geometrica il primo termine è 3 e la ragione è 2. Determina l'ottavo termine e la somma dei primi otto termini.
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Quale formula esprime correttamente la somma dei primi n termini di una progressione aritmetica?
- A) S_n = n · (a_1 + a_n)
- B) S_n = (a_1 + a_n) / 2
- C) S_n = n · (a_1 + a_n) / 2
- D) S_n = a_1 · n + d
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Spiega in non più di tre righe perché in una progressione geometrica la ragione q non può mai essere uguale a zero.
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Tra il numero 4 e il numero 100 inserisci tre medi aritmetici, cioè tre numeri che, insieme agli estremi, formino una progressione aritmetica di cinque termini. Calcola tali numeri.
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Nella successione 5, 10, 20, 40, 80 ogni termine è la media aritmetica del precedente e del successivo.
- Vero / Falso
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In una progressione geometrica a termini positivi vale la relazione a_n al quadrato uguale al prodotto dei termini vicini, cioè a_n^2 = a_(n-1) · ___ , detta proprietà della media geometrica.
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Un'azienda assume nuovi dipendenti seguendo questo piano: 8 il primo anno, 11 il secondo, 14 il terzo e così via, aumentando di 3 unità ogni anno. Quanti dipendenti saranno stati assunti complessivamente dopo dieci anni?
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Un capitale di 5000 euro viene investito al tasso annuo composto del 4 per cento. Determina il montante dopo sei anni e indica che tipo di progressione formano i montanti annuali.
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Quale tra le seguenti successioni è una progressione geometrica?
- A) 1, 4, 9, 16, 25
- B) 2, 4, 6, 8, 10
- C) 3, 6, 12, 24, 48
- D) 5, 10, 15, 25, 40
- Confronta la crescita di una progressione aritmetica di primo termine 100 e ragione 50 con quella di una progressione geometrica di primo termine 100 e ragione 1,5. Calcola alcuni termini, descrivi a parole quale cresce più rapidamente nel lungo periodo e spiega perché.