Risolvi i seguenti esercizi sulla geometria analitica dello spazio. Quando opportuno, fai un disegno orientativo per visualizzare punti, vettori, rette e piani. Giustifica i passaggi e ricontrolla i calcoli con stima e ragionevolezza del risultato.
- Quante coordinate servono per individuare un punto nello spazio tridimensionale?
- A) Una
- B) Due
- C) Tre
- D) Quattro
- Nello spazio due rette che non sono parallele si incontrano sempre in un punto.
- Vero / Falso
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L'equazione cartesiana di un piano nello spazio ha la forma ax + by + cz + d = 0, dove la terna (a, b, c) rappresenta un vettore ___ al piano.
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Quale è il modulo del vettore v = (2, −3, 6)?
- A) 5
- B) 7
- C) 11
- D) √47
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Dati i punti A(1, 2, −1) e B(4, 6, 11), calcola la distanza AB e le componenti del vettore AB.
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Due piani con equazioni 2x − y + 3z = 5 e 4x − 2y + 6z = 1 sono paralleli.
- Vero / Falso
- Il prodotto scalare dei vettori u = (1, 2, 3) e v = (4, −5, 2) vale:
- A) 0
- B) −2
- C) 2
- D) 12
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Associa ogni configurazione di rette alla sua caratteristica analitica. | Colonna A | Colonna B | |---|---| | Rette parallele non coincidenti | Vettori direttori non paralleli, un punto comune | | Rette incidenti | Vettori direttori non paralleli, nessun punto comune | | Rette sghembe | Vettori direttori paralleli, infiniti punti comuni | | Rette coincidenti | Vettori direttori paralleli, nessun punto comune |
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Scrivi l'equazione cartesiana del piano π passante per P_0(2, −1, 3) e avente vettore normale n = (1, 2, −2).
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L'equazione x² + y² + z² − 4x + 6y − 2z + 5 = 0 rappresenta una sfera. Quali sono centro e raggio?
- A) C(2, −3, 1), r = 3
- B) C(−2, 3, −1), r = 3
- C) C(2, −3, 1), r = √5
- D) C(4, −6, 2), r = 5
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Spiega perché nello spazio non si possono avere due piani sghembi.
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Calcola il prodotto vettoriale u × v con u = (1, 2, 3) e v = (0, 1, −1), e l'area del parallelogramma costruito sui due vettori.
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Due vettori non nulli sono perpendicolari se e solo se il loro prodotto ___ è nullo.
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La distanza del punto P(1, 2, 2) dal piano π: 2x − y + 2z + 1 = 0 vale:
- A) 1
- B) 5/3
- C) √5
- D) 5
- Le equazioni parametriche x = 1 + 2t, y = 3 − t, z = 4 + t descrivono una retta passante per il punto (1, 3, 4) con vettore direttore (2, −1, 1).
- Vero / Falso
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Determina se le rette r: x = 1 + t, y = 2 + t, z = 3 e s: x = 2 + 2u, y = 1 − u, z = 4 sono incidenti, parallele o sghembe.
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Associa ogni solido alla sua formula del volume. | Colonna A | Colonna B | |---|---| | Sfera di raggio r | V = (1/3)πr²h | | Cono di raggio r e altezza h | V = πr²h | | Cilindro di raggio r e altezza h | V = (1/3)Ah | | Piramide di area di base A e altezza h | V = (4/3)πr³ |
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Dati i punti A(0, 0, 0), B(2, 0, 0), C(0, 3, 0) e D(0, 0, 4), descrivi il solido che hanno per vertici, calcolane il volume e indica un metodo analitico per ottenerlo.
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Quale tra le seguenti scritture rappresenta una retta nello spazio?
- A) x + y + z = 1
- B) x² + y² + z² = 9
- C) {x + y = 1; x − z = 2
- D) x = 0
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Scrivi l'equazione della sfera di centro C(1, −2, 3) tangente al piano π: 2x + 2y + z − 3 = 0.
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Il vettore (3, 6, 9) è parallelo al vettore (1, 2, 3).
- Vero / Falso
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Spiega il significato geometrico del prodotto vettoriale tra due vettori non paralleli dello spazio.
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L'angolo tra i vettori u = (1, 0, 1) e v = (1, 1, 0) misura:
- A) 30°
- B) 45°
- C) 60°
- D) 90°
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Scrivi l'equazione cartesiana del piano passante per i tre punti A(1, 0, 0), B(0, 2, 0) e C(0, 0, 3).
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Costruisci un esempio originale di problema concreto, tratto dalla vita quotidiana o da un contesto tecnico, che richieda di scrivere l'equazione di un piano nello spazio e di calcolare la distanza di un punto da esso. Indica i dati, le incognite e una strategia di risoluzione, senza svolgere i calcoli.