Svolgi i seguenti esercizi sulla geometria analitica dello spazio. Per ogni esercizio mostra i calcoli sul quaderno e giustifica le risposte. Ricorda di disegnare, quando possibile, uno schizzo del sistema di riferimento per visualizzare punti, vettori, rette e piani coinvolti.
- Quale delle seguenti terne rappresenta un punto appartenente al piano xy?
- A) (2, -3, 0)
- B) (0, 0, 5)
- C) (1, 4, 2)
- D) (0, 3, -1)
- Due vettori dello spazio sono perpendicolari se e solo se il loro prodotto scalare è uguale a zero.
- Vero / Falso
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La distanza tra i punti P(1, 2, 2) e Q(4, 6, 2) è uguale a ___ unità.
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L'equazione del piano passante per il punto P(0, 0, 4) e perpendicolare al vettore n = (1, -2, 3) è:
- A) x - 2y + 3z + 12 = 0
- B) x - 2y + 3z - 12 = 0
- C) x + 2y - 3z + 4 = 0
- D) -x + 2y + 3z - 4 = 0
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Associa ogni equazione alla figura geometrica corrispondente nello spazio. | Colonna A | Colonna B | |---|---| | x² + y² + z² = 25 | Piano con vettore normale (2, -1, 1) | | 2x - y + z - 3 = 0 | Retta parametrica passante per (1, 0, 0) | | x = 1 + 2t, y = -t, z = 3t | Piano coordinato xy | | z = 0 | Sfera di centro nell'origine e raggio 5 |
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Dati i punti A(2, -1, 3) e B(4, 3, -1), determina: a) il vettore AB e il suo modulo; b) il punto medio M del segmento AB; c) l'equazione del piano perpendicolare ad AB e passante per M (piano simmetrale).
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Il vettore normale al piano di equazione 3x - y + 2z - 7 = 0 ha componenti (3, ___, 2).
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Quale relazione sussiste tra le rette r: (x, y, z) = (1, 0, 2) + t(2, 1, -1) e s: (x, y, z) = (3, 1, 1) + k(4, 2, -2)?
- A) Sono incidenti
- B) Sono sghembe
- C) Sono parallele (e coincidenti)
- D) Sono perpendicolari
- Due rette nello spazio che non si intersecano sono necessariamente parallele.
- Vero / Falso
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Spiega con parole tue la differenza tra rette parallele, incidenti e sghembe nello spazio, fornendo un esempio concreto per ciascuna situazione.
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Determina l'equazione della sfera che ha centro C(1, -2, 3) ed è tangente al piano coordinato xy. Verifica poi se il punto P(1, -2, 0) appartiene alla sfera.
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Il prodotto scalare tra i vettori u = (1, 2, -3) e v = (4, -1, 2) è uguale a:
- A) -4
- B) 0
- C) 8
- D) 12
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Considera un cubo di spigolo 4 posto nel primo ottante con un vertice nell'origine e gli spigoli paralleli agli assi coordinati. Determina le coordinate degli otto vertici, scrivi l'equazione del piano contenente la faccia superiore, calcola la lunghezza della diagonale del cubo e l'angolo che essa forma con uno spigolo.
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L'equazione della sfera di centro nell'origine e raggio 7 è x² + y² + z² = ___.
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Dati i tre punti A(1, 0, 0), B(0, 2, 0) e C(0, 0, 3), scrivi l'equazione del piano che li contiene e calcola la distanza dell'origine O da tale piano.