In breve: una funzione è una regola che associa a ogni numero di partenza un unico numero di arrivo; il limite descrive il valore a cui la funzione si avvicina quando la variabile si avvicina a un certo punto, anche senza mai raggiungerlo.
In quarta liceo l'analisi matematica diventa lo strumento principale per studiare come una grandezza varia rispetto a un'altra. Le funzioni che hai incontrato negli anni precedenti (rette, parabole, esponenziali) erano oggetti statici, da disegnare e leggere punto per punto. Adesso ti chiediamo un passo in più: osservare il comportamento di una funzione vicino a un valore, anche quando in quel valore la funzione non è definita oppure presenta un salto. Questo modo di guardare le cose si chiama passaggio al limite ed è la porta d'ingresso al calcolo differenziale e integrale.
Funzioni reali: dominio, codominio e lettura del grafico
Una funzione reale di variabile reale è una corrispondenza che a ogni numero x di un insieme di partenza, detto dominio, associa uno e un solo numero y di un insieme di arrivo. L'insieme dei valori effettivamente raggiunti si chiama immagine o codominio effettivo, e va distinto dal codominio dichiarato, che spesso coincide con tutto l'insieme dei numeri reali. Determinare il dominio significa elencare le condizioni che rendono lecita l'espressione: i denominatori devono essere diversi da zero, gli argomenti delle radici di indice pari devono essere non negativi, gli argomenti dei logaritmi devono essere strettamente positivi.
Una funzione si dice pari quando il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse delle ordinate, dispari quando è simmetrico rispetto all'origine, periodica quando si ripete identica a intervalli regolari di ampiezza T. Riconoscere queste proprietà permette di studiare la funzione solo su una porzione del dominio e poi estendere il risultato per simmetria. Anche la monotonia, cioè il fatto che la funzione sia crescente o decrescente su un intervallo, è una qualità che si legge bene sul grafico e che useremo spesso nello studio dei limiti. Considera ad esempio la funzione f(x) = (x² − 1)/(x − 1): il dominio esclude il valore x = 1, perché là il denominatore si annulla, ma per ogni altro x essa coincide con la retta g(x) = x + 1.
L'idea di limite: avvicinarsi senza arrivare
Il limite di una funzione f(x) per x che tende a un valore c è il numero L a cui i valori di f(x) si avvicinano quanto vogliamo, purché si scelga x sufficientemente vicino a c ma diverso da c. Scriviamo lim x→c f(x) = L per esprimere questo fatto, leggendo il simbolo come una promessa di vicinanza arbitraria. È fondamentale capire che il valore della funzione nel punto c non interessa: il limite guarda il comportamento nell'intorno, non sul punto stesso. Per questo motivo possiamo parlare di limite anche dove la funzione non è definita, come accade nei punti di discontinuità o agli estremi del dominio.
Quando la variabile può avvicinarsi a c da sinistra (valori minori) o da destra (valori maggiori), si introducono i due limiti laterali, indicati con c⁻ e c⁺. Il limite globale esiste, finito o infinito, solo se i due limiti laterali esistono e coincidono. Quando invece x cresce o decresce senza limite, si studia il comportamento all'infinito, scrivendo lim x→+∞ f(x) oppure lim x→−∞ f(x), e si possono ottenere come risultato un numero finito, oppure +∞, −∞, oppure nulla (se il limite non esiste). I limiti si calcolano spesso per sostituzione diretta, ma quando questa produce forme indeterminate del tipo 0/0, ∞/∞, 0·∞, ∞−∞ occorre trasformare l'espressione: raccogliere il termine di grado massimo, semplificare un fattore comune, razionalizzare un radicale, oppure ricondursi a limiti notevoli già conosciuti.
Ricorda
- Una funzione è ben definita solo sul proprio dominio: prima di calcolare un limite, individua sempre le condizioni di esistenza dell'espressione.
- Il limite descrive il comportamento di f(x) vicino a un punto, non in quel punto: due funzioni che differiscono solo in un punto isolato hanno lo stesso limite.
- Quando la sostituzione diretta dà una forma indeterminata, bisogna manipolare algebricamente l'espressione (scomposizione, raccoglimento, razionalizzazione) prima di concludere.
- Esercizio sul quaderno: considera la funzione h(x) = (x² − 9)/(x − 3). Determina il dominio, calcola h(2) e h(4), poi prova a stabilire a quale valore si avvicina h(x) quando x si avvicina a 3 (puoi aiutarti compilando una piccola tabella con x = 2,9; 2,99; 3,01; 3,1). Scrivi infine la conclusione usando il simbolo di limite.