Sintesi: Una funzione è una regola che a ogni valore di partenza associa un unico valore di arrivo. Il limite descrive il valore verso cui una funzione tende quando la variabile si avvicina a un certo numero, anche se in quel punto la funzione non è definita.
Che cos'è una funzione
Una funzione è una corrispondenza che associa a ogni elemento di un insieme di partenza, detto dominio, uno e un solo elemento di un insieme di arrivo, detto codominio. Pensiamo al distributore automatico di bevande: a ogni pulsante che premiamo corrisponde una sola bevanda, mai due contemporaneamente, ed è proprio questa univocità a rendere il meccanismo una funzione. In matematica scriviamo questa relazione nella forma f: A → B, dove la lettera f rappresenta la regola che trasforma gli ingressi in uscite. Se chiamiamo x l'ingresso e y l'uscita, la notazione y = f(x) ci dice che y è il valore prodotto dalla regola f quando le forniamo x. Per esempio, la funzione f(x) = 2x + 1 prende un numero, lo raddoppia e poi aggiunge uno, generando così una nuova quantità. Le funzioni sono lo strumento con cui modellizziamo fenomeni come la temperatura nel corso della giornata, la velocità di un'automobile o il prezzo di un prodotto al variare del tempo.
Dominio, codominio e grafico
Il dominio di una funzione è l'insieme di tutti i valori di x per cui la regola produce un risultato sensato, e individuarlo correttamente è il primo passo di ogni studio. Nella funzione f(x) = 1/(x − 3) dobbiamo escludere x = 3, perché la divisione per zero non è ammessa, quindi il dominio è l'insieme dei numeri reali diversi da 3. Nella funzione g(x) = √(x − 2) dobbiamo invece imporre x − 2 ≥ 0, perché la radice quadrata di un numero negativo non esiste nei reali, ottenendo così x ≥ 2. Il codominio è invece l'insieme nel quale cadono le uscite, mentre l'insieme dei valori effettivamente raggiunti si chiama immagine. Il grafico cartesiano di una funzione è l'insieme dei punti del piano della forma (x, f(x)) e ci permette di leggere a colpo d'occhio molte proprietà, come la crescenza o i punti di massimo. Una linea verticale tracciata in un grafico può intersecare la curva al massimo in un punto, perché altrimenti a una stessa x corrisponderebbero più valori y, violando la definizione.
L'idea intuitiva di limite
L'idea di limite nasce per descrivere ciò che accade a una funzione quando la variabile x si avvicina sempre di più a un valore c, senza necessariamente raggiungerlo. Immaginiamo di camminare verso una porta dimezzando ogni volta la distanza che ci separa: non la toccheremo mai esattamente, eppure ci avvicineremo a essa quanto vogliamo. In modo analogo, la funzione f(x) = (x² − 1)/(x − 1) non è definita in x = 1, perché il denominatore si annulla, ma se sostituiamo valori vicini a 1, come 0,9 o 1,1, otteniamo risultati molto prossimi a 2. Scriviamo allora che il limite per x che tende a 1 di f(x) è uguale a 2, e usiamo la notazione lim(x→1) f(x) = 2. Questo concetto ci permette di studiare il comportamento di una funzione in punti problematici, dove la regola sembra non funzionare ma il valore atteso esiste comunque. Il limite, dunque, non chiede quanto vale la funzione nel punto, ma a quale valore essa si avvicina.
Calcolo dei primi limiti
Quando la funzione è una polinomiale o una funzione razionale continua nel punto considerato, il calcolo del limite si riduce a una semplice sostituzione del valore di x nella formula. Per esempio, lim(x→2) (3x² − x + 4) si ottiene sostituendo x = 2 e calcolando 12 − 2 + 4 = 14, senza alcuna complicazione. Tuttavia, in molte situazioni la sostituzione diretta produce forme indeterminate, come 0/0 oppure ∞/∞, che richiedono manipolazioni algebriche. Nel caso di lim(x→1) (x² − 1)/(x − 1) la sostituzione dà 0/0, ma scomponendo il numeratore come (x − 1)(x + 1) possiamo semplificare il fattore comune e ottenere lim(x→1) (x + 1) = 2. Esistono poi limiti all'infinito, in cui x cresce indefinitamente: per la funzione f(x) = 1/x, ad esempio, il limite per x → +∞ è 0, perché dividere 1 per un numero sempre più grande produce un risultato sempre più piccolo. Imparare a riconoscere le forme indeterminate e a sciogliere i loro nodi è una delle competenze fondamentali dell'analisi.
Limite destro, limite sinistro e continuità
Una funzione può essere studiata avvicinandosi al punto c da destra, cioè con valori maggiori di c, oppure da sinistra, cioè con valori minori di c, e i due risultati si chiamano rispettivamente limite destro e limite sinistro. Pensiamo a una funzione definita a tratti, come f(x) = x se x < 0 e f(x) = x + 2 se x ≥ 0: avvicinandosi a 0 da sinistra otteniamo 0, mentre da destra otteniamo 2, e i due limiti sono diversi. In questo caso si dice che il limite per x → 0 non esiste, perché esiste solo quando entrambi i limiti laterali coincidono. Quando il limite esiste e coincide con il valore della funzione nel punto, cioè lim(x→c) f(x) = f(c), diciamo che la funzione è continua in c. La continuità è una proprietà importante perché garantisce che il grafico si possa tracciare senza staccare la matita dal foglio in quel punto. Le funzioni polinomiali, esponenziali, seno e coseno sono continue in tutto il loro dominio, mentre le funzioni razionali sono continue ovunque tranne dove il denominatore si annulla.
Ricorda
- Una funzione associa a ogni elemento del dominio un unico elemento del codominio, secondo la regola y = f(x).
- Il dominio si determina escludendo i valori che rendono impossibili operazioni come la divisione per zero o la radice di numeri negativi.
- Il limite descrive il valore verso cui la funzione tende quando x si avvicina a un punto c, indipendentemente dal valore assunto in quel punto.
- Forme come 0/0 sono indeterminate e richiedono scomposizioni o semplificazioni algebriche prima di concludere.
- Una funzione è continua in c se il limite per x → c esiste e coincide con f(c); altrimenti presenta un punto di discontinuità.
Esercizio di verifica da svolgere sul quaderno: considera la funzione f(x) = (x² − 4)/(x − 2). Determina il dominio della funzione, poi calcola lim(x→2) f(x) scomponendo il numeratore. Infine, stabilisci se è possibile definire un valore di f(2) che renda la funzione continua nel punto x = 2, e in caso affermativo indica quale.