In breve: una funzione è una regola che associa a ogni numero di un insieme di partenza un unico numero in arrivo, mentre il limite descrive il valore a cui una funzione si avvicina quando la variabile si sposta verso un certo punto.
Che cos'è davvero una funzione
Una funzione è una macchina matematica che riceve un numero in ingresso e restituisce sempre lo stesso numero in uscita per quello stesso ingresso. Pensa a un distributore automatico: se inserisci la stessa moneta e premi lo stesso tasto, ricevi sempre la stessa bibita, e mai due bibite diverse contemporaneamente. In linguaggio formale scriviamo f: A → B, dove A è il dominio, cioè l'insieme dei valori ammessi in ingresso, e B il codominio. Il dominio non è un dettaglio secondario, perché stabilisce dove la regola ha senso e dove invece non possiamo applicarla. Per esempio, la funzione che a un'ora del giorno associa la temperatura registrata in città funziona solo per ore comprese tra 0 e 24, non per numeri negativi. Allo stesso modo, la funzione f(x) = 1/x non accetta lo zero, perché dividere per zero non è ammesso.
Un secondo esempio quotidiano aiuta a fissare l'idea. Quando entri in un parcheggio a pagamento, la macchina associa alla durata della sosta un importo preciso: a 30 minuti corrisponde un solo prezzo, non due. Se per la stessa durata uscissero importi diversi, la regola non sarebbe più una funzione ma una semplice relazione ambigua.
Dominio, codominio e immagine
Il dominio di una funzione reale è l'insieme di tutti i valori di x per cui l'espressione ha senso matematico. Per determinarlo dobbiamo escludere i casi pericolosi: denominatori che si annullano, radici quadrate di numeri negativi, logaritmi di numeri non positivi. Se ad esempio consideriamo f(x) = √(x − 3), dobbiamo imporre x − 3 ≥ 0, cioè x ≥ 3, perché altrimenti la radice non esiste nei reali. Per g(x) = (2x + 1)/(x − 5) il dominio è invece l'insieme di tutti i numeri reali diversi da 5, poiché in 5 il denominatore si annulla. L'immagine, infine, è l'insieme dei valori effettivamente raggiunti dalla funzione al variare di x nel dominio, ed è in genere un sottoinsieme del codominio.
Nella vita quotidiana questo si traduce in vincoli pratici molto naturali. Considera la funzione che a un numero di pizze ordinate associa il tempo di consegna: il dominio realistico è l'insieme dei numeri interi non negativi, perché non possiamo ordinare 2,7 pizze. L'immagine sarà invece formata da minuti reali, magari compresi tra venti e novanta.
Grafico e lettura visiva
Il grafico di una funzione è la rappresentazione nel piano cartesiano di tutte le coppie (x, f(x)) e ci permette di vedere in un solo colpo d'occhio il comportamento della regola. Una proprietà fondamentale è il criterio della retta verticale: una curva nel piano rappresenta una funzione se e solo se ogni retta verticale la incontra in al più un punto. Dal grafico possiamo leggere immediatamente il dominio guardando l'ombra della curva sull'asse x, e l'immagine guardando l'ombra sull'asse y. Possiamo inoltre individuare zeri, segno, massimi e minimi locali, simmetrie e zone di crescita.
Un esempio quotidiano è il grafico della temperatura corporea durante una giornata di influenza, dove l'asse x rappresenta le ore e l'asse y i gradi. Un altro esempio è il grafico del livello dell'acqua di una vasca che si riempie: leggendo la curva capiamo se il flusso è costante, in accelerazione o in rallentamento, senza bisogno di calcoli.
L'idea intuitiva di limite
Il concetto di limite nasce per rispondere a una domanda semplice: a quale valore tende la funzione quando la variabile si avvicina a un certo numero, senza necessariamente raggiungerlo? Pensa a un'auto che frena in prossimità di un semaforo: anche se non sappiamo esattamente quando si fermerà, possiamo dire con sicurezza che la sua velocità sta tendendo a zero. Allo stesso modo, scrivendo lim x→2 (3x + 1) = 7 affermiamo che, scegliendo x sempre più vicini a 2, i valori di 3x + 1 si avvicinano quanto vogliamo al numero 7. Il limite non riguarda dunque ciò che accade esattamente in 2, ma ciò che accade attorno a 2.
Un secondo esempio chiarisce la differenza tra valore e limite. Considera la funzione che vale 1 per ogni x diverso da 0 e vale 100 nel solo punto x = 0: nonostante f(0) = 100, il limite per x che tende a 0 è 1, perché attorno allo zero la funzione si comporta come la costante 1. Il limite cattura quindi la tendenza, non un eventuale picco isolato.
Limite destro, limite sinistro e limiti infiniti
Quando ci avviciniamo a un punto x₀, possiamo farlo da destra o da sinistra, ottenendo i cosiddetti limiti laterali. Il limite destro, indicato con x → x₀⁺, considera valori più grandi di x₀, mentre quello sinistro, scritto x → x₀⁻, considera valori più piccoli. Il limite ordinario esiste finito se e solo se entrambi i limiti laterali esistono e coincidono: questa è una verifica preziosa, soprattutto per funzioni definite a tratti. Se i due limiti laterali sono diversi, parliamo di un punto di discontinuità di tipo salto, come avviene per la funzione segno in x = 0. Quando invece la funzione cresce oltre ogni limite, scriviamo che il limite è +∞, mentre se decresce indefinitamente parliamo di −∞.
Un esempio concreto è la funzione 1/x in prossimità dello zero: avvicinandoci da destra con valori positivi piccolissimi otteniamo numeri enormi e positivi, mentre da sinistra otteniamo numeri enormi ma negativi. Un altro esempio è il costo di una telefonata a tariffa fissa nel primo minuto: appena superato il minuto il prezzo salta, e i limiti destro e sinistro nel punto di passaggio sono diversi.
Calcolare limiti per sostituzione
Per la grande maggioranza delle funzioni elementari che incontri in quarta, il limite in un punto del dominio si calcola con una semplice sostituzione diretta. Se la funzione è continua in x₀, allora lim x→x₀ f(x) = f(x₀), e per fortuna polinomi, funzioni razionali nei punti del loro dominio, esponenziali, logaritmi e funzioni goniometriche sono continue dove definite. Per esempio, lim x→3 (x² − 2x + 5) si ottiene scrivendo 9 − 6 + 5 = 8, senza alcuna manipolazione. Anche lim x→1 (x + 7)/(x + 2) si calcola istantaneamente come 8/3.
Il problema sorge quando la sostituzione produce una forma indeterminata come 0/0, ∞/∞, ∞ − ∞ o 0·∞: in questi casi serve una manipolazione algebrica preliminare. Per esempio, per lim x→2 (x² − 4)/(x − 2) la sostituzione dà 0/0, ma scomponendo il numeratore in (x − 2)(x + 2) e semplificando otteniamo lim (x + 2) = 4. Nel quotidiano, questa idea ricorda quando il navigatore non riesce a calcolare il percorso più veloce: ci serve un'altra strategia per arrivare alla risposta.
Limiti all'infinito e asintoti
Un'altra famiglia di limiti riguarda il comportamento della funzione quando x cresce o decresce illimitatamente. Scrivere lim x→+∞ f(x) = L significa che, prendendo x sufficientemente grande, i valori di f(x) si avvicinano quanto vogliamo a L; in tal caso la retta y = L è un asintoto orizzontale. Se invece lim x→x₀ f(x) = ±∞ avremo un asintoto verticale di equazione x = x₀. Per le funzioni razionali si confrontano i gradi del numeratore e del denominatore: se il grado del numeratore è minore, il limite all'infinito è zero; se sono uguali, il limite è il rapporto dei coefficienti dei termini di grado massimo.
Pensa al saldo di un conto deposito con interessi decrescenti che si avvicinano sempre più a un valore stabile: quel valore è un asintoto orizzontale. Un altro esempio è il tempo necessario a svuotare una piscina con una pompa che perde efficienza: il livello dell'acqua tende a un valore residuo non nullo, comportamento descritto da un asintoto orizzontale.
Continuità e prime applicazioni
Una funzione è continua in un punto x₀ del suo dominio quando il limite per x → x₀ esiste finito e coincide con il valore f(x₀). Geometricamente significa che il grafico si può tracciare senza staccare la penna dal foglio in corrispondenza di quel punto. La continuità garantisce proprietà importanti come il teorema degli zeri, che assicura l'esistenza di una soluzione di f(x) = 0 in un intervallo dove la funzione cambia segno. Le discontinuità si classificano in tre tipi: eliminabili, di salto e di seconda specie, a seconda del comportamento dei limiti laterali.
Un esempio concreto è la temperatura misurata istante per istante in una stanza riscaldata: è una funzione continua del tempo, e la sua continuità ci permette di affermare che, passando da 18 a 22 gradi, in qualche istante la temperatura è stata esattamente 20. Un altro esempio è la tariffa postale a scaglioni di peso, che invece presenta salti netti ed è quindi una funzione discontinua nei punti di confine tra uno scaglione e l'altro.
Ricorda
- Una funzione associa a ogni elemento del dominio un unico elemento del codominio.
- Il dominio si determina escludendo denominatori nulli, radicandi negativi e argomenti non positivi dei logaritmi.
- Il limite descrive il valore verso cui tende la funzione quando x si avvicina a un punto o a infinito.
- Il limite ordinario esiste finito se e solo se i due limiti laterali esistono e coincidono.
- Per funzioni continue il limite si calcola per sostituzione diretta.
- Le forme 0/0 e ∞/∞ sono indeterminate e richiedono manipolazioni algebriche.
- Asintoti orizzontali derivano da limiti all'infinito finiti, asintoti verticali da limiti infiniti in un punto.
Piccolo esercizio di verifica. Sul tuo quaderno: (a) determina il dominio della funzione h(x) = √(x + 4)/(x − 1); (b) calcola lim x→3 (x² − 9)/(x − 3) mostrando il passaggio di scomposizione; (c) stabilisci se la retta y = 2 è asintoto orizzontale per f(x) = (2x² + 1)/(x² + 5) calcolando il limite per x → +∞; (d) disegna a mano libera il grafico di una funzione che abbia in x = 0 un limite sinistro uguale a −1 e un limite destro uguale a 3.