I teoremi del coseno e dei seni estendono la trigonometria ai triangoli qualsiasi, permettendo di calcolare lati e angoli anche quando il triangolo non è rettangolo.
Fino alla terza liceo abbiamo lavorato sulla trigonometria del triangolo rettangolo, dove il teorema di Pitagora e le definizioni di seno e coseno bastavano per risolvere ogni situazione. Quando però il triangolo è generico, cioè privo di angoli retti, abbiamo bisogno di strumenti più potenti che leghino lati e angoli in modo universale. I teoremi sui triangoli qualunque nascono proprio da questa esigenza: generalizzare le relazioni metriche a qualsiasi forma di triangolo. Useremo la convenzione standard secondo cui i lati di lunghezza a, b, c sono opposti rispettivamente agli angoli α, β, γ. Conoscere questi teoremi significa saper risolvere un triangolo, cioè determinarne tutti gli elementi a partire da un numero minimo di dati noti. Si tratta di un argomento fondamentale per la fisica, la topografia e l'ingegneria.
Il teorema del coseno (o di Carnot)
Il teorema del coseno è la generalizzazione naturale del teorema di Pitagora ai triangoli non rettangoli e si enuncia così: in ogni triangolo il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati, diminuita del doppio prodotto di questi lati per il coseno dell'angolo compreso. In formula scriviamo a² = b² + c² − 2bc·cos(α), e analoghe per gli altri lati. Quando l'angolo α vale 90° il suo coseno è zero e la formula si riduce esattamente al teorema di Pitagora, mostrando la continuità tra i due risultati. Se invece α è acuto, il termine sottrattivo riduce il quadrato del lato opposto; se α è ottuso, il coseno è negativo e il termine si somma, allungando il lato opposto. Questo teorema si applica in due situazioni tipiche: quando conosciamo due lati e l'angolo compreso, oppure quando conosciamo tutti e tre i lati e vogliamo determinare gli angoli. Per esempio, in un triangolo con b = 5 cm, c = 7 cm e α = 60°, otteniamo a² = 25 + 49 − 2·5·7·cos(60°) = 74 − 35 = 39, quindi a = √39 ≈ 6,24 cm.
Il teorema dei seni
Il teorema dei seni stabilisce una proporzionalità elegante tra lati e seni degli angoli opposti: in ogni triangolo il rapporto tra un lato e il seno dell'angolo opposto è costante e vale 2R, dove R è il raggio del cerchio circoscritto. La formula completa è a/sin(α) = b/sin(β) = c/sin(γ) = 2R, e fornisce uno strumento potente per risolvere triangoli in cui sia coinvolta una coppia lato-angolo opposto. Lo utilizziamo tipicamente quando conosciamo un lato e due angoli, oppure quando conosciamo due lati e un angolo opposto a uno di essi. Quest'ultimo caso, chiamato caso ambiguo, può portare a zero, una o due soluzioni distinte, e richiede di valutare attentamente la coerenza geometrica dei risultati. La presenza del fattore 2R rivela inoltre un legame profondo con la geometria del cerchio, perché ogni triangolo è inscrivibile in un'unica circonferenza il cui raggio è univocamente determinato dai suoi elementi. Per scegliere tra i due teoremi conviene chiedersi quali dati abbiamo: se compare un angolo tra due lati noti, si usa il coseno; se compare una coppia lato-angolo opposto, si usa il teorema dei seni.
Ricorda
- Il teorema del coseno, a² = b² + c² − 2bc·cos(α), generalizza Pitagora e si usa con due lati e l'angolo compreso, oppure con tre lati noti.
- Il teorema dei seni, a/sin(α) = b/sin(β) = c/sin(γ) = 2R, si usa quando conosci una coppia lato-angolo opposto e collega il triangolo al suo cerchio circoscritto.
- Esercizio di verifica sul quaderno: dato un triangolo con a = 8, b = 6 e γ = 45°, calcola il lato c con il teorema del coseno e poi, usando il teorema dei seni, determina l'angolo α; verifica infine che la somma degli angoli interni sia 180°.