In questa lezione scopriamo come misurare lati e angoli di un triangolo qualsiasi, anche quando non è rettangolo, grazie a due strumenti potentissimi: il teorema dei seni e il teorema del coseno.
In geometria abbiamo già imparato a calcolare lati e angoli dei triangoli rettangoli grazie al teorema di Pitagora e alla trigonometria di base. Ma cosa succede quando il triangolo non ha alcun angolo retto, come accade nella maggior parte dei casi reali? Pensiamo a un topografo che deve misurare la distanza fra due rive di un fiume, o a un astronomo che calcola la posizione di una stella: i triangoli che incontrano nella realtà sono quasi sempre qualunque. Per affrontare queste situazioni la matematica ci offre due teoremi straordinari, il teorema dei seni e il teorema del coseno, che generalizzano i risultati del triangolo rettangolo a qualsiasi forma triangolare. In questa lezione esploreremo entrambi, capendo quando conviene usare l'uno e quando l'altro, e li applicheremo a problemi concreti.
Il teorema dei seni: una proporzione elegante
Il teorema dei seni afferma che in un triangolo qualsiasi il rapporto tra ciascun lato e il seno dell'angolo opposto è costante, e questa costante è pari al diametro del cerchio circoscritto al triangolo. In formula, indicando con a, b, c i lati e con α, β, γ gli angoli opposti, scriviamo a/sin(α) = b/sin(β) = c/sin(γ) = 2R, dove R è il raggio del cerchio circoscritto. Questa relazione è sorprendentemente elegante, perché lega in modo semplice ogni lato all'angolo che gli sta di fronte. La dimostrazione si ottiene tracciando un'altezza del triangolo e osservando che essa può essere espressa in due modi diversi usando il seno di due angoli differenti. Il teorema dei seni è particolarmente comodo quando conosciamo due angoli e un lato, oppure due lati e l'angolo opposto a uno di essi, situazioni che la geometria classifica come casi ALA, AAL e LLA. Immaginiamo un ingegnere che deve costruire un ponte sopra una valle: misura due angoli dalle estremità di una base nota e, grazie a questa proporzione, calcola la lunghezza degli altri due lati senza dover attraversare il dirupo.
Il teorema del coseno: il Pitagora generalizzato
Il teorema del coseno, chiamato anche teorema di Carnot, stabilisce che in un triangolo qualsiasi il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati diminuita del doppio prodotto di questi lati per il coseno dell'angolo fra essi compreso. In formula otteniamo a² = b² + c² − 2bc·cos(α), con relazioni analoghe per gli altri due lati. Questa relazione è una vera generalizzazione del teorema di Pitagora: se l'angolo α vale 90°, il suo coseno è zero e la formula si riduce esattamente ad a² = b² + c². Quando l'angolo è acuto il termine sottratto è positivo e il lato opposto risulta minore di quello che avremmo nel triangolo rettangolo; quando è ottuso il coseno è negativo e il lato opposto risulta maggiore. Il teorema del coseno è la scelta naturale nei casi LLL (conosciamo i tre lati e vogliamo trovare un angolo) e LAL (conosciamo due lati e l'angolo compreso e vogliamo trovare il terzo lato). Pensiamo a una squadra di soccorritori in montagna che conosce le distanze fra tre rifugi e vuole calcolare gli angoli del percorso: il teorema del coseno fornisce immediatamente la risposta.
Quando usare l'uno e quando l'altro
La scelta del teorema giusto dipende sempre dai dati che abbiamo a disposizione, e imparare a riconoscere il caso è la competenza più importante di questa unità. Se conosciamo due angoli e un lato qualsiasi, oppure due lati e l'angolo opposto a uno di essi, il teorema dei seni è la via più rapida e diretta. Se invece conosciamo due lati e l'angolo compreso fra di essi, oppure tutti e tre i lati, dobbiamo necessariamente ricorrere al teorema del coseno, perché il teorema dei seni richiederebbe un angolo opposto a un lato noto. Una strategia efficace consiste nel disegnare sempre il triangolo, evidenziare in colore i dati noti e chiedersi quale formula collega esattamente quei dati con l'incognita richiesta. Talvolta i due teoremi si combinano: si usa prima il teorema del coseno per trovare un primo elemento, e poi il teorema dei seni per completare la risoluzione in modo più veloce. Per esempio, se conosciamo i tre lati di un appezzamento triangolare di terreno e vogliamo determinare tutti gli angoli, possiamo applicare il teorema del coseno per il primo angolo e il teorema dei seni per gli altri due.
L'area del triangolo e l'ambiguità del caso LLA
Dai teoremi appena visti deriva anche una formula molto utile per calcolare l'area di un triangolo qualunque: l'area è pari a un mezzo del prodotto di due lati per il seno dell'angolo compreso, cioè S = (1/2)·a·b·sin(γ). Questa formula libera dalla necessità di conoscere l'altezza, che spesso è scomoda da misurare direttamente sul disegno. Esiste poi un'insidia importante nel caso LLA, ovvero quando conosciamo due lati e un angolo non compreso fra di essi: il problema può ammettere una soluzione, due soluzioni distinte o nessuna soluzione, a seconda dei valori numerici in gioco. Questo accade perché, una volta calcolato il seno di un angolo, potremmo trovare due angoli diversi compresi fra 0° e 180° che hanno lo stesso seno, uno acuto e uno ottuso. Per esempio, se sin(β) = 0,5 allora β può valere 30° oppure 150°, e bisogna controllare se entrambi i valori sono compatibili con la somma degli angoli interni pari a 180°. Per questo motivo, nel caso ambiguo, occorre sempre verificare la coerenza geometrica delle soluzioni trovate prima di accettarle come valide.
Ricorda
Ecco i punti chiave da fissare bene in memoria prima di passare agli esercizi:
- Teorema dei seni: a/sin(α) = b/sin(β) = c/sin(γ) = 2R, utile nei casi ALA, AAL e LLA.
- Teorema del coseno: a² = b² + c² − 2bc·cos(α), generalizzazione di Pitagora, utile nei casi LAL e LLL.
- Area di un triangolo qualunque: S = (1/2)·a·b·sin(γ), con γ angolo compreso fra i lati a e b.
- Nel caso LLA verifica sempre se esistono una, due o nessuna soluzione.
- Disegna sempre il triangolo e segna i dati noti prima di scegliere la formula.
Piccolo esercizio di verifica sul quaderno: di un triangolo conosci b = 8 cm, c = 5 cm e l'angolo α compreso fra di essi pari a 60°. Calcola la lunghezza del terzo lato a usando il teorema del coseno, poi determina l'area del triangolo con la formula del seno. Infine, applicando il teorema dei seni, trova la misura dell'angolo β opposto al lato b e controlla che la somma dei tre angoli sia 180°.