I teoremi sui triangoli qualunque

Scheda operativaLiceo · 4ªmatematica

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Stesso argomento, tre livelli: Sintetica (più breve), Standard, Estesa (più completa).

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Risolvi i seguenti esercizi sui teoremi dei triangoli qualunque. Per i problemi numerici riporta i calcoli completi e arrotonda i risultati a due cifre decimali. Usa la notazione standard: lato a opposto al vertice A, e così via. Quando necessario, fai uno schizzo del triangolo per orientarti.

  1. In un triangolo qualunque, quale formula esprime correttamente il teorema del coseno relativo al lato a?
  1. Il teorema dei seni afferma che in ogni triangolo il rapporto tra un lato e il seno dell'angolo opposto è costante ed è uguale al diametro del cerchio circoscritto.
  1. Il teorema del coseno si riduce al teorema di Pitagora quando l'angolo compreso tra i due lati noti è di 45°.

  1. Completa: in un triangolo ABC, il lato opposto al vertice B si indica con ___ , mentre l'angolo nel vertice C si indica con γ oppure con ___ .

  2. In un triangolo, due lati misurano 8 cm e 10 cm e formano un angolo di 30°. Quale formula usi per calcolare l'area?

  1. Associa ciascun caso di risoluzione del triangolo al teorema principale da utilizzare per primo. | Colonna A | Colonna B | |---|---| | LAA (un lato e due angoli) | Teorema del coseno | | LAL (due lati e angolo compreso) | Teorema del coseno inverso | | LLL (tre lati noti) | Formula S = (1/2)·b·c·sen α | | Area noti due lati e angolo compreso | Teorema dei seni |

  2. In un triangolo ABC si ha b = 14 cm, c = 10 cm e α = 60°. Calcola il lato a.

  3. Di un triangolo si conoscono α = 40°, β = 75° e a = 6 cm. Determina il lato b.

  4. Un triangolo ha lati 7 cm, 9 cm e 12 cm. Cosa puoi concludere subito sul triangolo?

  1. Nel caso SSA (due lati e un angolo non compreso) la soluzione del triangolo è sempre unica.

  1. Il teorema delle proiezioni afferma che a = b · cos γ + c · cos ___ .

  2. In un triangolo ABC si ha a = 5 cm, b = 7 cm e c = 9 cm. Calcola l'ampiezza dell'angolo α.

  3. In un triangolo con a = 10, α = 30° e β = 45°, quanto vale il diametro 2R del cerchio circoscritto?

  1. Due strade rettilinee partono dallo stesso incrocio formando un angolo di 110°. Lungo la prima si trova un paese a 6 km, lungo la seconda un secondo paese a 4 km. Calcola la distanza in linea d'aria tra i due paesi.

  2. Spiega in poche righe perché il teorema del coseno può essere considerato una generalizzazione del teorema di Pitagora.

  3. Calcola l'area di un triangolo che ha due lati di 15 cm e 20 cm e l'angolo compreso di 120°.

  4. Quale tra le seguenti coppie di dati NON permette di risolvere univocamente un triangolo?

  1. La formula S = (1/2) · b · c · sen α è valida anche quando l'angolo α è ottuso.

  1. Da un punto P si vede una torre sotto un angolo di elevazione di 35°. Avvicinandosi di 50 m lungo la stessa direzione, l'angolo di elevazione diventa 55°. Calcola l'altezza della torre.

  2. In un triangolo ABC, l'area si può scrivere come S = (1/2) · a · c · sen ___ .

  3. Associa ciascun valore di cos α al tipo di angolo α in un triangolo. | Colonna A | Colonna B | |---|---| | cos α > 0 | angolo α retto | | cos α = 0 | angolo α ottuso | | cos α < 0 | angolo α di 60° | | cos α = 1/2 | angolo α acuto |

  4. Un parallelogramma ha due lati consecutivi di 8 cm e 12 cm e l'angolo tra essi compreso di 70°. Calcola la lunghezza della diagonale opposta a tale angolo.

  5. Un ingegnere deve calcolare la distanza tra due edifici A e B situati sulle sponde opposte di un fiume. Dalla sponda di B sceglie un punto C distante 80 m da B; misura l'angolo ABC = 95° e l'angolo BCA = 50°. Descrivi il procedimento per calcolare la distanza AB e svolgi i calcoli.

  6. In un triangolo ABC si ha a = 13 cm, b = 14 cm e c = 15 cm. Calcola l'area utilizzando un metodo trigonometrico.

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Leggi con calma ogni esercizio. Usa il foglio per disegnare il triangolo. Puoi usare la calcolatrice e lo schema dei teoremi. Ricorda: il teorema dei seni dice che ogni lato diviso il seno dell'angolo opposto dà lo stesso numero. Il teorema del coseno è come Pitagora con un pezzo in più. Non avere fretta: un passo alla volta.

  1. Il teorema dei seni mette in relazione lati e angoli. Quale rapporto è uguale per tutti i lati?
  • A) lato diviso angolo
  • B) lato diviso seno dell'angolo opposto
  • C) lato per coseno
  • D) lato più angolo
  1. Il teorema del coseno è una generalizzazione del teorema di Pitagora.
  • Vero / Falso

  1. Nel teorema del coseno scriviamo: a al quadrato uguale b al quadrato più c al quadrato meno ___ bc cos A.

  2. Un triangolo ha un angolo di 90° (novanta gradi). Quanto vale cos di 90°?

  • A) 0 (zero)
  • B) 1 (uno)
  • C) -1 (meno uno)
  • D) 0,5 (zero virgola cinque)

  1. Collega ogni formula al suo nome. | Colonna A | Colonna B | |---|---| | a/sen A = b/sen B | teorema del coseno | | a² = b² + c² - 2bc cos A | teorema di Pitagora | | a² + b² = c² | area con il seno | | Area = (1/2) ab sen C | teorema dei seni |

  2. Il teorema dei seni si può usare solo nei triangoli rettangoli.

  • Vero / Falso
  1. In un triangolo i lati misurano 3 (tre) e 4 (quattro). L'angolo tra loro è 90° (novanta gradi). Quanto vale il terzo lato?
  • A) 5 (cinque)
  • B) 6 (sei)
  • C) 7 (sette)
  • D) 4 (quattro)

  1. Il simbolo ° significa ___ ed è usato per misurare gli angoli.

  2. Spiega con parole tue cosa dice il teorema dei seni.

  3. Quale formula calcola l'area con due lati e l'angolo tra loro?

  • A) base per altezza
  • B) (1/2) · lato1 · lato2 · sen(angolo)
  • C) perimetro diviso 2
  • D) lato al quadrato
  1. Nel teorema del coseno il simbolo ² significa elevato al quadrato.
  • Vero / Falso

  1. Collega ogni simbolo al suo significato. | Colonna A | Colonna B | |---|---| | sen | coseno di un angolo | | cos | gradi | | ° | al quadrato | | ² | seno di un angolo |

  2. Se a = 6 (sei) e sen A = 0,5 (zero virgola cinque), allora a/sen A = ___ .

  3. In un triangolo gli angoli misurano 50° e 60°. Quanto vale il terzo angolo?

  • A) 70° (settanta gradi)
  • B) 80° (ottanta gradi)
  • C) 90° (novanta gradi)
  • D) 60° (sessanta gradi)

  1. Un triangolo ha lati b = 5 (cinque) e c = 7 (sette). L'angolo A tra loro vale 60° (sessanta gradi). Calcola il lato a con il teorema del coseno.

  2. Il teorema dei seni serve a trovare lati o angoli sconosciuti.

  • Vero / Falso
  1. Nel teorema del coseno, se l'angolo A è 90° (novanta gradi), la formula diventa:
  • A) a² = b² + c² (Pitagora)
  • B) a² = b² - c²
  • C) a² = 2bc
  • D) a² = b + c

  1. Quando conviene usare il teorema del coseno invece del teorema dei seni?

  2. L'area del triangolo con due lati e l'angolo tra loro è: Area = (1/___) · a · b · sen C.

  3. Collega ogni situazione al teorema giusto. | Colonna A | Colonna B | |---|---| | so due angoli e un lato | teorema del coseno | | so tre lati | teorema del coseno | | so due lati e angolo tra loro | teorema dei seni | | so un lato e angolo opposto | teorema dei seni |

  4. In un triangolo a = 8 (otto), l'angolo A = 30° (trenta gradi) e l'angolo B = 45° (quarantacinque gradi). Trova il lato b usando il teorema dei seni.

  5. Quale di queste NON è una formula corretta del teorema dei seni?

  • A) a/sen A = b/sen B
  • B) b/sen B = c/sen C
  • C) a · sen A = b · sen B
  • D) a/sen A = c/sen C

  1. Spiega con parole tue, in tre passi, come si usa il teorema del coseno per trovare un lato. Puoi fare un esempio semplice.

  2. Calcola l'area di un triangolo con lati a = 4 (quattro) e b = 6 (sei) e angolo C = 30° (trenta gradi) tra loro.

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