Svolgi sul quaderno tutti gli esercizi proposti, mostrando i passaggi quando richiesto. Quando lavori sul piano di Argand-Gauss, traccia con cura assi e punti. Ricorda che i² = −1 e che il modulo di un numero complesso z = a + bi vale √(a² + b²).
- Qual è il risultato di i⁵?
- A) 1
- B) −1
- C) i
- D) −i
- Quale dei seguenti numeri è il coniugato di z = −4 + 7i?
- A) 4 − 7i
- B) −4 − 7i
- C) 4 + 7i
- D) −7 + 4i
- L'insieme dei numeri reali è un sottoinsieme dell'insieme dei numeri complessi.
- Vero / Falso
- Il prodotto di un numero complesso z per il suo coniugato è sempre un numero immaginario puro.
- Vero / Falso
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Il modulo del numero complesso z = 5 − 12i vale ___.
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L'argomento principale del numero complesso z = −1 + i, espresso in radianti, è ___.
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Associa ogni numero complesso al suo modulo. | Colonna A | Colonna B | |---|---| | 3 + 4i | √2 | | 1 + i | 10 | | −6 + 8i | 4 | | 2 − 2i√3 | 5 |
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Associa a ogni potenza dell'unità immaginaria il suo valore. | Colonna A | Colonna B | |---|---| | i¹⁰ | −i | | i¹⁵ | 1 | | i²⁰ | i | | i²⁵ | −1 |
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Calcola la somma (3 + 2i) + (−5 + 4i) e la differenza (3 + 2i) − (−5 + 4i), mostrando i passaggi.
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Calcola il prodotto (2 + 3i)(4 − i) e scrivi il risultato in forma algebrica.
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Esegui la divisione (4 + 3i)/(1 − 2i) razionalizzando con il coniugato.
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Determina modulo e argomento di z = −√3 + i e scrivilo in forma trigonometrica.
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Usando la formula di De Moivre, calcola (1 + i)⁸.
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Risolvi nel campo complesso l'equazione x² + 4x + 13 = 0.
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Determina le tre radici cubiche di z = 8 e rappresentale sul piano di Argand-Gauss.
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Quale equazione ha come soluzioni i numeri 1 + 2i e 1 − 2i?
- A) x² − 2x + 5 = 0
- B) x² + 2x + 5 = 0
- C) x² − 2x − 5 = 0
- D) x² + 5 = 0
- In forma trigonometrica, il numero −2i si scrive come:
- A) 2(cos π + i sin π)
- B) 2(cos(π/2) + i sin(π/2))
- C) 2(cos(3π/2) + i sin(3π/2))
- D) 2(cos(−π) + i sin(−π))
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Il risultato di (1 + i)² è ___.
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Il numero complesso z = 2(cos(π/3) + i sin(π/3)) scritto in forma algebrica è ___.
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L'equazione x⁴ + 1 = 0 non ha alcuna soluzione nel campo dei numeri complessi.
- Vero / Falso
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Spiega con parole tue come si rappresenta geometricamente la somma di due numeri complessi sul piano di Argand-Gauss.
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Spiega il significato geometrico della moltiplicazione di un numero complesso per un altro numero complesso in forma trigonometrica.
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Dimostra che, per ogni numero complesso z ≠ 0, vale la relazione 1/z = z̄ / |z|² e illustra il procedimento con l'esempio z = 3 + 4i.
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Determina tutti i numeri complessi z tali che z² = −5 + 12i.
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Confronta la rappresentazione di un numero complesso in forma algebrica, trigonometrica ed esponenziale, indicando in quali situazioni ciascuna delle tre risulta più conveniente per i calcoli.