Le equazioni e disequazioni goniometriche coinvolgono le funzioni seno, coseno e tangente di un angolo incognito; risolverle significa determinare tutti i valori dell'angolo che soddisfano la relazione, sfruttando la periodicità delle funzioni circolari.
In una equazione goniometrica l'incognita non è un numero qualsiasi, ma un angolo che compare come argomento di una funzione circolare. La novità rispetto alle equazioni algebriche è che, per la periodicità delle funzioni, esistono infinite soluzioni che si raggruppano in famiglie scandite da un periodo. Per affrontarle in modo solido bisogna padroneggiare la circonferenza goniometrica, conoscere i valori notevoli e saper leggere segni e simmetrie. Lo stesso vale per le disequazioni, dove si studia il segno di un'espressione trigonometrica lungo un giro completo. La strategia generale consiste nel ricondurre l'espressione data a una forma elementare, risolverla sull'intervallo fondamentale e poi estendere il risultato a tutto l'asse reale.
Equazioni goniometriche elementari e riconducibili
Le equazioni elementari hanno la forma sin x = m, cos x = m oppure tan x = m, e sono il mattone su cui si costruisce tutto il resto. Per le prime due esiste soluzione solo se m appartiene all'intervallo da meno uno a uno, mentre per la tangente ogni valore reale è ammesso grazie al codominio illimitato. Quando l'equazione è sin x = m, si scrive x = arcsin(m) + 2kπ oppure x = π − arcsin(m) + 2kπ, con k intero qualsiasi, perché due angoli supplementari hanno lo stesso seno. Per cos x = m si ottiene invece x = ± arccos(m) + 2kπ, sfruttando la simmetria pari della funzione coseno rispetto all'asse delle ascisse. Per tan x = m basta scrivere x = arctan(m) + kπ, perché il periodo della tangente è π e non 2π come per le altre.
Molte equazioni non sono elementari, ma diventano tali dopo opportune trasformazioni come la sostituzione, il raccoglimento, l'uso delle formule di duplicazione, bisezione, addizione o di Werner. Le equazioni lineari del tipo a sin x + b cos x = c si risolvono con la formula dell'angolo aggiunto oppure con le formule parametriche che esprimono seno e coseno in funzione di t uguale a tangente di x mezzi. Le equazioni omogenee di secondo grado, come a sin²x + b sin x cos x + c cos²x = 0, si dividono per cos²x ottenendo un'equazione di secondo grado nella tangente. È fondamentale, dopo aver applicato qualsiasi sostituzione, verificare che le soluzioni rientrino nel dominio originale e controllare se sono comparse soluzioni estranee. Un buon metodo per non perdersi è disegnare sempre la circonferenza goniometrica e segnare gli angoli trovati nell'intervallo da zero a due pi greco.
Vediamo un esempio concreto: risolvere 2 cos²x − 3 cos x + 1 = 0. Poniamo t = cos x e otteniamo 2t² − 3t + 1 = 0, che fattorizzata diventa (2t − 1)(t − 1) = 0, con soluzioni t = 1/2 e t = 1. Tornando alla variabile originale, da cos x = 1/2 ricaviamo x = ± π/3 + 2kπ, mentre da cos x = 1 ricaviamo x = 2kπ. L'insieme delle soluzioni si scrive quindi unendo le tre famiglie infinite, ognuna parametrizzata da k intero.
Disequazioni goniometriche e metodo grafico
Una disequazione goniometrica chiede di determinare gli archi per cui una funzione circolare è maggiore, minore o uguale a un valore assegnato, oppure per cui un'espressione più complessa ha un certo segno. Il metodo più affidabile, soprattutto all'inizio, è quello grafico sulla circonferenza goniometrica, che permette di visualizzare immediatamente l'arco soluzione. Per una disequazione del tipo sin x maggiore di un mezzo, si tracciano la retta orizzontale di ordinata uno mezzo e si individuano gli archi della circonferenza che stanno al di sopra di essa. Per il coseno si ragiona invece con rette verticali, mentre per la tangente si confrontano le ordinate dei punti di intersezione con la retta tangente alla circonferenza nel punto di ascissa uno. Una volta trovato l'intervallo soluzione nel periodo fondamentale, lo si estende a tutto l'asse reale sommando i multipli interi del periodo della funzione coinvolta.
Per disequazioni più complesse si riconducono i termini a una stessa funzione, si studia il segno di ciascun fattore o si applica il metodo dei segni come per le disequazioni razionali. Quando compare un prodotto o un quoziente di funzioni goniometriche, si studia separatamente il segno di ciascun fattore nell'intervallo da zero a due pi greco e si combinano i risultati in una tabella. Bisogna prestare attenzione alle condizioni di esistenza, soprattutto quando compare la tangente o un denominatore che si annulla in punti specifici. Anche per le disequazioni, infine, la circonferenza goniometrica resta lo strumento di controllo più potente e meno soggetto a errori di distrazione.
Ricorda
- Le soluzioni di sin x = m e cos x = m esistono solo se m appartiene all'intervallo chiuso da meno uno a uno, mentre tan x = m ammette sempre soluzione per ogni m reale.
- Il periodo di seno e coseno è due pi greco, quello della tangente è pi greco: nella scrittura finale delle soluzioni non dimenticare mai il termine più 2kπ oppure più kπ.
- Per le disequazioni elementari il metodo grafico sulla circonferenza goniometrica resta la guida più sicura: traccia la retta corrispondente al valore numerico e leggi l'arco soluzione.
- Piccolo esercizio di verifica da svolgere sul quaderno: risolvi sull'intervallo da zero a due pi greco la disequazione 2 sin x − 1 maggiore o uguale a zero, disegnando la circonferenza e individuando con cura gli estremi dell'arco soluzione.