Introduzione
Le equazioni e disequazioni goniometriche sono il linguaggio matematico con cui descriviamo fenomeni che si ripetono nel tempo, come le maree, le vibrazioni di una corda o l'oscillazione di un pendolo.
Quando osserviamo l'altezza dell'acqua in un porto durante la giornata, notiamo che essa sale e scende seguendo un andamento ondulatorio prevedibile. Per rispondere a domande del tipo "a che ora il livello supererà i due metri?" abbiamo bisogno di strumenti capaci di risolvere uguaglianze e disuguaglianze tra funzioni trigonometriche. La differenza fondamentale rispetto alle equazioni algebriche è che le funzioni seno, coseno e tangente sono periodiche, quindi una stessa equazione può avere infinite soluzioni distribuite regolarmente sull'asse reale. Imparare a risolverle significa padroneggiare due movimenti: trovare le soluzioni in un intervallo limitato e poi generalizzarle aggiungendo i periodi opportuni. In questa scheda affronteremo le equazioni elementari, quelle riconducibili a elementari, le disequazioni e infine alcune tecniche utili come sostituzioni e fattorizzazioni.
Equazioni goniometriche elementari
Un'equazione goniometrica si dice elementare quando ha la forma sin x = k, cos x = k oppure tan x = m, con k e m numeri reali assegnati. Per sin x = k e cos x = k esistono soluzioni reali soltanto se k appartiene all'intervallo [-1, 1], perché seno e coseno non escono mai da questa fascia. Per la tangente, invece, il valore m può essere qualsiasi numero reale, poiché la funzione percorre tutto l'asse y. La struttura generale delle soluzioni sfrutta la periodicità: per il seno scriviamo x = α + 2kπ oppure x = π − α + 2kπ, dove α è la soluzione di riferimento e k è un intero. Per il coseno otteniamo x = ±α + 2kπ, mentre per la tangente basta x = α + kπ, perché il periodo della tangente è π e non 2π.
Consideriamo l'esempio cos x = 1/2: cercando nel cerchio goniometrico l'arco il cui coseno vale 1/2, troviamo α = π/3, quindi tutte le soluzioni sono x = ±π/3 + 2kπ. Se ci viene chiesto di trovare le soluzioni nell'intervallo [0, 2π], scegliamo k = 0 ottenendo π/3 e poi k = 1 nella formula con il segno meno, ricavando 2π − π/3 = 5π/3. Un altro caso interessante è tan x = √3, la cui soluzione di riferimento è π/3 e la formula generale x = π/3 + kπ produce, nell'intervallo [0, 2π], i due valori π/3 e 4π/3.
Equazioni riconducibili a elementari
Molto spesso le equazioni che incontriamo non sono direttamente elementari, ma possono essere ricondotte a quel tipo con opportune manipolazioni algebriche o sostituzioni. Una prima famiglia comprende le equazioni in cui compare una sola funzione goniometrica e che si presentano come polinomi di secondo grado, ad esempio 2sin²x − sin x − 1 = 0. In questi casi poniamo t = sin x con il vincolo −1 ≤ t ≤ 1, risolviamo l'equazione di secondo grado in t e poi torniamo alla variabile originaria. Una seconda strategia importante è la fattorizzazione: di fronte a sin x cos x − sin x = 0 raccogliamo sin x ottenendo sin x (cos x − 1) = 0, e applichiamo la legge di annullamento del prodotto.
Per l'equazione 2sin²x − sin x − 1 = 0 la sostituzione t = sin x produce 2t² − t − 1 = 0, le cui radici sono t = 1 e t = −1/2. Tornando indietro otteniamo sin x = 1, da cui x = π/2 + 2kπ, e sin x = −1/2, che fornisce x = −π/6 + 2kπ oppure x = 7π/6 + 2kπ. Quando invece l'equazione mescola seno e coseno con grado complessivo due, come accade in a sin²x + b sin x cos x + c cos²x = 0, parliamo di equazione omogenea: la dividiamo per cos²x (verificando prima che cos x = 0 non sia soluzione) e otteniamo un'equazione di secondo grado in tan x.
Equazioni lineari in seno e coseno
Una categoria particolarmente elegante è quella delle equazioni del tipo a sin x + b cos x = c, dette equazioni lineari. Esistono due metodi principali per risolverle, ciascuno con vantaggi specifici. Il primo metodo, detto dell'angolo aggiunto, riscrive a sin x + b cos x come R sin(x + φ), dove R = √(a² + b²) e φ è un angolo determinato dalle relazioni cos φ = a/R e sin φ = b/R. L'equazione si trasforma così in R sin(x + φ) = c, che è elementare. Il secondo metodo utilizza le formule parametriche, ponendo t = tan(x/2): in questo modo sin x e cos x diventano funzioni razionali di t, ma occorre verificare separatamente se x = π + 2kπ è soluzione, poiché la sostituzione la esclude.
Prendiamo come esempio sin x + cos x = 1: applicando il metodo dell'angolo aggiunto con R = √2 e φ = π/4 otteniamo √2 sin(x + π/4) = 1, da cui sin(x + π/4) = √2/2 e quindi x + π/4 = π/4 + 2kπ oppure x + π/4 = 3π/4 + 2kπ. Le soluzioni sono dunque x = 2kπ e x = π/2 + 2kπ, che possiamo verificare facilmente sostituendo. La scelta del metodo dipende dall'esperienza: se i coefficienti rendono R un valore semplice come 1, 2 o √2, conviene l'angolo aggiunto, altrimenti le parametriche possono risultare più dirette.
Disequazioni goniometriche
Le disequazioni goniometriche si risolvono studiando il cerchio goniometrico e individuando gli archi in cui la condizione richiesta è verificata. Per una disequazione elementare come sin x > 1/2, troviamo prima i valori di x per cui sin x = 1/2, cioè π/6 e 5π/6 nell'intervallo [0, 2π], e poi osserviamo che il seno è maggiore di 1/2 negli archi compresi fra questi due valori, quindi π/6 < x < 5π/6. Per generalizzare aggiungiamo il periodo: π/6 + 2kπ < x < 5π/6 + 2kπ. La visualizzazione sul cerchio goniometrico è uno strumento decisivo, perché permette di leggere immediatamente gli intervalli di positività o negatività di ciascuna funzione.
Nelle disequazioni più complesse, dopo aver fattorizzato o sostituito, dobbiamo studiare il segno di ciascun fattore separatamente e poi combinarli con una tabella dei segni, esattamente come si fa nelle disequazioni algebriche. Per esempio, di fronte a 2cos²x − 1 > 0 fattorizziamo come (√2 cos x − 1)(√2 cos x + 1) > 0 oppure più semplicemente osserviamo che cos²x > 1/2, ossia |cos x| > √2/2, da cui ricaviamo gli archi corrispondenti. È fondamentale ricordare di limitare lo studio a un periodo completo, tipicamente [0, 2π], e poi estendere la soluzione aggiungendo il periodo della funzione coinvolta.
Ricorda
I punti chiave da tenere a mente sono i seguenti. Primo, le equazioni elementari sin x = k e cos x = k ammettono soluzioni solo se −1 ≤ k ≤ 1, mentre tan x = m è sempre risolubile. Secondo, le soluzioni si esprimono sempre con il termine periodico 2kπ per seno e coseno, kπ per la tangente. Terzo, davanti a un'equazione complessa cerca di ridurla a elementare con sostituzioni, fattorizzazioni o formule. Quarto, le equazioni lineari a sin x + b cos x = c si risolvono con l'angolo aggiunto o le parametriche. Quinto, le disequazioni si studiano sul cerchio goniometrico, individuando gli archi in cui la condizione è verificata.
Ora metti alla prova quanto hai imparato con un piccolo esercizio attivo sul quaderno: risolvi l'equazione 2cos²x + 3cos x − 2 = 0 nell'intervallo [0, 2π], scrivendo tutti i passaggi e indicando la sostituzione utilizzata. Poi, sempre sul quaderno, risolvi la disequazione tan x ≥ 1 nello stesso intervallo, disegnando il cerchio goniometrico e ombreggiando gli archi soluzione. Confronta infine i tuoi risultati con un compagno per verificare i passaggi.