Le equazioni e disequazioni goniometriche sono uguaglianze o disuguaglianze in cui l'incognita compare come argomento di una funzione trigonometrica, e per risolverle bisogna sfruttare la periodicità del cerchio unitario.
Introduzione: perché ci servono
Immagina di osservare la marea che sale e scende lungo la costa di Genova: l'altezza dell'acqua oscilla regolarmente, descrivendo una curva che si ripete nel tempo. Anche la corrente alternata che fa funzionare il frigorifero di casa segue un andamento sinusoidale, e gli ingegneri devono calcolare con precisione quando la tensione raggiungerà certi valori. Per rispondere a domande del tipo "in quale istante la marea supera i tre metri?" oppure "quando la tensione si annulla?" abbiamo bisogno di strumenti che leghino angoli e valori numerici. Le equazioni goniometriche rispondono alla prima famiglia di domande, quelle che chiedono valori esatti, mentre le disequazioni rispondono alla seconda, quelle che chiedono intervalli. In questa lezione impareremo a manovrare queste due categorie con sicurezza, partendo dai casi elementari fino ad arrivare alle situazioni più articolate. Il cerchio goniometrico sarà il nostro alleato visivo costante, perché permette di vedere immediatamente quali angoli soddisfano una certa condizione.
Le equazioni elementari in seno e coseno
Un'equazione goniometrica si dice elementare quando si presenta nella forma sin(x) = k oppure cos(x) = k, con k numero reale assegnato. La prima cosa da verificare è che k appartenga all'intervallo [-1, 1], perché seno e coseno non possono assumere valori esterni a questo range, dato che corrispondono a coordinate di punti sulla circonferenza di raggio unitario. Se k è fuori da questo intervallo l'equazione è semplicemente impossibile e non ha soluzioni reali. Quando invece k è ammissibile, dobbiamo ricordare che le funzioni goniometriche sono periodiche e quindi le soluzioni sono infinite. Per il seno scriviamo x = arcsin(k) + 2kπ oppure x = π − arcsin(k) + 2kπ, dove k è un intero qualsiasi. Per il coseno scriviamo invece x = ±arccos(k) + 2kπ, sempre con k intero.
Un primo esempio quotidiano: supponiamo che la lancetta dei secondi di un orologio analogico formi con la verticale un angolo il cui seno vale 1/2; gli angoli soddisfacenti sono π/6 e 5π/6, più tutti i multipli di 2π. Un secondo esempio: se sappiamo che cos(x) = √2/2, allora x vale π/4 o −π/4, sempre a meno di multipli interi del periodo.
Le equazioni elementari con tangente e cotangente
La tangente ha un comportamento un po' diverso dal seno e dal coseno, perché non è limitata: può assumere qualunque valore reale, e per questo l'equazione tan(x) = k ammette soluzioni per ogni k. Il suo periodo è π e non 2π, quindi le soluzioni si scrivono come x = arctan(k) + kπ, con k intero. Bisogna però ricordare il dominio: la tangente non esiste per x = π/2 + kπ, perché in quei punti il coseno si annulla e la divisione perderebbe senso. Analogamente, la cotangente ha periodo π e soluzioni della forma x = arccot(k) + kπ, ma non è definita per x = kπ. Quando risolviamo, è buona pratica controllare sempre che le soluzioni trovate non cadano sui punti esclusi dal dominio.
Un esempio concreto: se tan(x) = 1, sappiamo che x = π/4 + kπ, e infatti la pendenza unitaria descrive una retta inclinata di 45 gradi, come la diagonale di un quadrato di piastrelle del pavimento. Un altro esempio: tan(x) = √3 ci porta a x = π/3 + kπ, che corrisponde all'angolo formato da un'asta inclinata che sale di sessanta gradi rispetto al terreno.
Equazioni riconducibili a elementari
Molte equazioni non si presentano in forma elementare ma possono diventarlo con piccole manipolazioni algebriche o sostituzioni opportune. Una tecnica classica consiste nel sostituire un'espressione goniometrica con una variabile ausiliaria t, riducendo l'equazione a una di secondo grado. Per esempio, l'equazione 2sin²(x) − 3sin(x) + 1 = 0 diventa, ponendo t = sin(x), la quadratica 2t² − 3t + 1 = 0, che ha soluzioni t = 1 e t = 1/2. A questo punto si tornano a risolvere due equazioni elementari distinte, ricordando di scartare eventuali valori di t fuori dall'intervallo di accettabilità della funzione. Questa strategia è potentissima e si applica anche a polinomi di grado superiore, purché compaia una sola funzione goniometrica oppure si riesca a ricondursi a essa tramite identità fondamentali. Tra le identità più utili ricordiamo sin²(x) + cos²(x) = 1, le formule di duplicazione e quelle di bisezione.
Primo esempio quotidiano: pensa a un'onda radio descritta da cos²(x) = 1/4; ponendo t = cos(x) otteniamo t = ±1/2 e quindi quattro famiglie di soluzioni. Secondo esempio: se 2cos(x) − √2 = 0, basta isolare cos(x) = √2/2 e ottenere x = ±π/4 + 2kπ.
Equazioni lineari in seno e coseno
Le equazioni della forma a·sin(x) + b·cos(x) = c, dette lineari in seno e coseno, sono molto frequenti nei problemi di fisica, specialmente nella composizione di oscillazioni armoniche. Esistono due metodi principali per risolverle: il metodo dell'angolo aggiunto e il metodo delle formule parametriche con t = tan(x/2). Il metodo dell'angolo aggiunto consiste nel riscrivere l'espressione a·sin(x) + b·cos(x) come R·sin(x + φ), dove R = √(a² + b²) e φ è un angolo opportuno determinato dalle condizioni cos(φ) = a/R e sin(φ) = b/R. L'equazione si riduce così a R·sin(x + φ) = c, cioè a una elementare. Il metodo parametrico invece esprime sin(x) e cos(x) in funzione di t = tan(x/2), trasformando l'equazione in una algebrica razionale, ma richiede di verificare separatamente se x = π + 2kπ è soluzione, perché in quel punto la sostituzione non è definita.
Primo esempio: l'equazione sin(x) + cos(x) = 1 diventa √2·sin(x + π/4) = 1, da cui sin(x + π/4) = √2/2 e quindi x = 0 + 2kπ oppure x = π/2 + 2kπ. Secondo esempio: la composizione di due forze oscillanti che generano un suono di altezza costante si modella esattamente con questo tipo di equazione.
Le disequazioni goniometriche elementari
Quando al posto dell'uguale compare un segno di disuguaglianza, il problema cambia natura: non cerchiamo più angoli puntuali ma archi del cerchio goniometrico. Per risolvere sin(x) > k procediamo così: tracciamo la retta orizzontale di ordinata k, individuiamo i suoi punti di intersezione con la circonferenza, e selezioniamo l'arco situato al di sopra di tale retta. Le soluzioni sono tutti gli angoli che corrispondono a quell'arco, scritti in forma generale aggiungendo 2kπ. Per cos(x) > k il ragionamento è analogo, ma la retta da tracciare è verticale di ascissa k, e selezioniamo l'arco a destra. La visualizzazione sul cerchio è insostituibile e va sempre fatta, anche solo mentalmente, per evitare errori di segno e di estremi.
Primo esempio: la disequazione sin(x) > 1/2 sull'intervallo [0, 2π] ha come soluzione π/6 < x < 5π/6, che rappresenta tutta la mezzaluna superiore tra i due angoli notevoli. Secondo esempio: cos(x) ≤ 0 sull'intervallo [0, 2π] dà π/2 ≤ x ≤ 3π/2, cioè la metà sinistra del cerchio, utile per descrivere quando l'ombra di un palo è orientata verso ovest.
Disequazioni con tangente e disequazioni non elementari
Per le disequazioni del tipo tan(x) > k bisogna fare attenzione perché la tangente, oltre a essere periodica con periodo π, ha asintoti verticali in corrispondenza dei punti dove il coseno si annulla. Conviene ragionare su un singolo periodo, tipicamente (−π/2, π/2), trovare le soluzioni lì e poi sommare kπ per ottenere tutte le altre. Quando la disequazione non è elementare, si applicano le stesse tecniche viste per le equazioni: sostituzioni, fattorizzazioni, identità e poi si studia il segno di ciascun fattore separatamente. Il prodotto e il quoziente di espressioni goniometriche si trattano con la classica tabella dei segni, esattamente come si fa nelle disequazioni algebriche tradizionali. Bisogna inoltre prestare attenzione al dominio: se compaiono tangenti o cotangenti, gli angoli proibiti vanno esclusi dall'insieme delle soluzioni.
Primo esempio: la disequazione tan(x) ≥ 1 nel periodo (−π/2, π/2) dà π/4 ≤ x < π/2, e quindi in generale π/4 + kπ ≤ x < π/2 + kπ. Secondo esempio: sin(x)·cos(x) > 0 equivale a sin(2x) > 0, da cui 2x appartiene a (0, π) + 2kπ e quindi x ∈ (0, π/2) + kπ, cioè tutto il primo e terzo quadrante.
Ricorda
I punti chiave da fissare in memoria sono: le equazioni elementari sin(x) = k e cos(x) = k hanno soluzione solo se −1 ≤ k ≤ 1, mentre tan(x) = k è sempre risolubile; ogni equazione goniometrica ha infinite soluzioni perché le funzioni sono periodiche, quindi non dimenticare mai il termine 2kπ o kπ a seconda dei casi; le disequazioni si risolvono ragionando sul cerchio goniometrico, individuando archi e non punti; le equazioni lineari in seno e coseno si affrontano con il metodo dell'angolo aggiunto o con la sostituzione parametrica; controlla sempre il dominio quando compaiono tangente o cotangente.
Piccolo esercizio di verifica: prendi il quaderno e risolvi l'equazione 2sin²(x) − sin(x) − 1 = 0 nell'intervallo [0, 2π], poi traccia il cerchio goniometrico e segna in rosso le soluzioni trovate; subito dopo, risolvi la disequazione cos(x) < 1/2 sempre in [0, 2π] e disegna in blu l'arco corrispondente. Confronta i due disegni: vedrai concretamente la differenza tra cercare punti isolati e cercare archi continui.