Svolgi i seguenti esercizi sulle equazioni e disequazioni goniometriche. Quando non viene indicato un intervallo, fornisci sempre la soluzione generale con il periodo. Disegna il cerchio goniometrico ogni volta che ti aiuta a visualizzare le soluzioni e verifica i risultati sostituendoli nell'equazione di partenza.
- Quali sono tutte le soluzioni dell'equazione sin x = √3/2?
- A) x = π/3 + 2kπ ∨ x = 2π/3 + 2kπ
- B) x = π/3 + kπ
- C) x = π/6 + 2kπ ∨ x = 5π/6 + 2kπ
- D) x = ±π/3 + 2kπ
- L'equazione cos x = 3/2 ammette infinite soluzioni reali grazie alla periodicità del coseno.
- Vero / Falso
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La soluzione generale dell'equazione tan x = −1 è x = ___ + kπ.
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Associa ciascuna equazione elementare al suo insieme di soluzioni nell'intervallo [0, 2π]. | Colonna A | Colonna B | |---|---| | cos x = 0 | π/2 | | sin x = 1 | π | | cos x = −1 | 0, π, 2π | | tan x = 0 | π/2 e 3π/2 |
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Risolvi l'equazione 2sin²x − 3sin x + 1 = 0 nell'intervallo [0, 2π].
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Nel risolvere l'equazione omogenea sin²x − 3sin x cos x + 2cos²x = 0 si divide per cos²x ottenendo un'equazione in tan x. Quale?
- A) tan²x − 3tan x + 2 = 0
- B) tan²x + 3tan x + 2 = 0
- C) 2tan²x − 3tan x + 1 = 0
- D) tan²x − 3tan x − 2 = 0
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Risolvi l'equazione lineare √3 sin x + cos x = 1 utilizzando il metodo dell'angolo aggiunto.
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Spiega con parole tue perché l'equazione tan x = 5 ammette sempre infinite soluzioni, mentre cos x = 5 non ne ammette nessuna.
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Nella risoluzione di una disequazione goniometrica come sin x > 1/2 nell'intervallo [0, 2π], la soluzione è π/6 < x < 5π/6.
- Vero / Falso
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Risolvi la disequazione 2cos x − √3 ≥ 0 nell'intervallo [0, 2π].
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Quale delle seguenti è la soluzione generale dell'equazione sin(2x) = 0?
- A) x = kπ/2
- B) x = 2kπ
- C) x = π/2 + kπ
- D) x = kπ
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Per risolvere l'equazione lineare a sin x + b cos x = c con il metodo dell'angolo aggiunto si pone R = ___ .
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Descrivi una situazione concreta della vita quotidiana o della fisica in cui una disequazione goniometrica permette di rispondere a una domanda pratica, indicando la grandezza modellata e il significato della soluzione.
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Risolvi l'equazione 2sin x cos x = sin x nell'intervallo [0, 2π].
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La disequazione tan x > 0 nell'intervallo (0, 2π) è verificata in quale unione di intervalli?
- A) (0, π/2) ∪ (π, 3π/2)
- B) (π/2, π) ∪ (3π/2, 2π)
- C) (0, π)
- D) (π, 2π)
- Spiega perché, nel metodo delle formule parametriche per risolvere a sin x + b cos x = c, è necessario verificare separatamente se x = π + 2kπ è soluzione dell'equazione originaria.