Una funzione è una legge che associa a ogni elemento di un insieme di partenza uno e un solo elemento di un insieme di arrivo. Studiarne le proprietà significa capire come si comporta, dove è definita e quali simmetrie possiede.
Che cos'è una funzione e come si descrive
Una funzione reale di variabile reale è una relazione che a ciascun numero x del dominio associa un unico numero y appartenente al codominio. Il dominio è l'insieme di tutti i valori che possiamo dare alla variabile indipendente senza ottenere espressioni prive di significato matematico. L'immagine, invece, è l'insieme dei valori y effettivamente raggiunti dalla funzione quando x percorre tutto il dominio.
Per determinare il dominio si applicano alcune condizioni di esistenza che dipendono dalla forma analitica: il denominatore deve essere diverso da zero, il radicando di una radice di indice pari non negativo, l'argomento di un logaritmo strettamente positivo. Ricordiamo, in particolare, che il logaritmo naturale soddisfa identità fondamentali come ln(1) = 0, perché elevando e all'esponente zero si ottiene uno, e ln(e) = 1, perché e elevato a uno restituisce e stesso.
Consideriamo come esempio la funzione f(x) = ln(x − 2): imponendo x − 2 > 0 si ottiene x > 2, quindi il dominio è l'intervallo aperto da 2 a più infinito. Già da questa analisi capiamo dove possiamo disegnare il grafico e dove invece la funzione non esiste affatto.
Le principali proprietà delle funzioni
Una funzione si dice iniettiva quando a valori distinti della x corrispondono valori distinti della y, cioè se x₁ ≠ x₂ implica f(x₁) ≠ f(x₂). È suriettiva se ogni elemento del codominio viene raggiunto da almeno una x del dominio, mentre la biiettività è la presenza simultanea di entrambe le proprietà e garantisce l'esistenza dell'inversa. Queste nozioni si traducono graficamente nel test della retta orizzontale: una funzione è iniettiva quando ogni retta parallela all'asse x interseca il grafico in al massimo un punto.
La monotonia descrive il modo in cui la funzione cresce o decresce: si dice crescente in un intervallo se, presi due valori x₁ < x₂, risulta f(x₁) < f(x₂), decrescente nel caso opposto. Le funzioni monotone su tutto il dominio sono automaticamente iniettive, e questa è una delle ragioni per cui la monotonia è una proprietà così preziosa. Studiarla permette di prevedere il comportamento del grafico anche senza calcolare moltissimi punti.
La simmetria, infine, distingue le funzioni pari, per cui vale f(−x) = f(x) con grafico simmetrico rispetto all'asse delle ordinate, dalle funzioni dispari, per cui vale f(−x) = −f(x) con grafico simmetrico rispetto all'origine. Una funzione si dice periodica di periodo T quando f(x + T) = f(x) per ogni x del dominio, come accade per le funzioni trigonometriche elementari. Riconoscere queste simmetrie semplifica enormemente lo studio, perché basta analizzare metà del grafico per dedurre l'altra.
Ricorda
- Il dominio si determina imponendo le condizioni di esistenza: denominatori non nulli, radicandi pari non negativi, argomenti di logaritmi positivi.
- Iniettività, suriettività e biiettività descrivono la corrispondenza tra dominio e codominio; la monotonia è una via comoda per dimostrare l'iniettività.
- Una funzione è pari se f(−x) = f(x), dispari se f(−x) = −f(x); le funzioni periodiche si ripetono identiche dopo un intervallo T.
- Esercizio attivo da svolgere sul quaderno: data la funzione g(x) = (x³ − 4x) / (x² + 1), determina il dominio, verifica algebricamente se è pari, dispari o né l'una né l'altra, e motiva la risposta con i passaggi.