Una funzione è una regola che associa a ogni ingresso un unico risultato: capire le sue proprietà ci permette di leggere grafici, prevedere comportamenti e modellare fenomeni reali, dalla crescita di una pianta alla discesa di un'altalena.
Che cos'è davvero una funzione
Una funzione è una relazione che a ciascun elemento di un insieme di partenza, detto dominio, associa uno e un solo elemento di un insieme di arrivo, detto codominio. Per indicarla scriviamo f: A → B e leggiamo "f va da A in B", mentre il valore associato a x si indica con f(x), che si pronuncia "f di x". La condizione di unicità è fondamentale: se a uno stesso ingresso corrispondessero due uscite diverse, non avremmo più una funzione ma una semplice relazione. Pensa a un distributore automatico: ogni codice digitato deve restituire esattamente un prodotto, altrimenti la macchina sarebbe inservibile. Allo stesso modo, la funzione f(x) = 2x + 1 trasforma il numero 3 nel valore 7 e in nessun altro risultato. L'insieme dei valori effettivamente raggiunti dalla funzione si chiama immagine e può coincidere col codominio oppure essere un suo sottoinsieme proprio.
Dominio, codominio e immagine
Il dominio rappresenta l'insieme di tutti i valori di x per cui l'espressione f(x) ha senso ed è calcolabile nei numeri reali. Per determinarlo bisogna escludere le situazioni vietate: i denominatori non possono annullarsi, gli argomenti delle radici di indice pari devono essere maggiori o uguali a zero, gli argomenti dei logaritmi devono essere strettamente positivi. Ad esempio, la funzione f(x) = 1/(x − 4) ha dominio formato da tutti i numeri reali tranne 4, perché in 4 il denominatore si annullerebbe. Una funzione come g(x) = √(x − 2) richiede invece x − 2 ≥ 0, quindi il dominio è l'intervallo [2; +∞). Nel caso del logaritmo, h(x) = ln(x + 1) impone x + 1 > 0 e di conseguenza il dominio è (−1; +∞). L'immagine, invece, si ottiene osservando quali valori la funzione produce davvero al variare di x nel dominio: per f(x) = x² l'immagine è [0; +∞) perché nessun quadrato di un numero reale risulta negativo.
Funzioni iniettive, suriettive e biettive
Una funzione si dice iniettiva quando elementi diversi del dominio producono sempre risultati diversi, cioè se da x₁ ≠ x₂ segue f(x₁) ≠ f(x₂). Graficamente, una retta orizzontale qualsiasi interseca il grafico di una funzione iniettiva al massimo in un punto: è il cosiddetto test della retta orizzontale. Una funzione è invece suriettiva quando ogni elemento del codominio viene effettivamente raggiunto, cioè quando immagine e codominio coincidono perfettamente. Quando una funzione è contemporaneamente iniettiva e suriettiva si dice biettiva e ammette una funzione inversa, che annulla l'effetto della funzione originaria. Un esempio quotidiano è la corrispondenza tra ogni cittadino italiano e il suo codice fiscale: a persone diverse corrispondono codici diversi (iniettività) e ogni codice valido è assegnato a qualcuno (suriettività rispetto all'insieme dei codici emessi). La funzione f(x) = 2x + 5 è biettiva su tutto ℝ e la sua inversa è f⁻¹(x) = (x − 5)/2.
Funzioni pari, dispari, crescenti e decrescenti
Una funzione si dice pari quando f(−x) = f(x) per ogni x del dominio, e il suo grafico risulta simmetrico rispetto all'asse delle ordinate, come accade per f(x) = x² o per il coseno. È invece dispari quando f(−x) = −f(x), e in tal caso il grafico è simmetrico rispetto all'origine, come per f(x) = x³ o per il seno. La monotonia descrive il comportamento crescente o decrescente: una funzione è crescente in un intervallo se, presi due valori x₁ < x₂ in quell'intervallo, si ha f(x₁) < f(x₂), mentre è decrescente se vale la disuguaglianza opposta. Pensa alla temperatura corporea durante una giornata di influenza: sale rapidamente nelle prime ore (intervallo di crescita), resta alta nel pomeriggio (costanza) e scende verso sera grazie al farmaco (intervallo di decrescita). Anche la quota di un aereo in atterraggio è una funzione decrescente del tempo: man mano che i minuti passano, l'altitudine diminuisce in modo continuo fino a zero.
Composizione, inversa e funzioni notevoli
La composizione di due funzioni f e g si indica con (g ∘ f)(x) = g(f(x)) e consiste nell'applicare prima f e poi g al risultato ottenuto. Per esempio, se f(x) = x + 3 e g(x) = x², allora (g ∘ f)(x) = (x + 3)², mentre (f ∘ g)(x) = x² + 3: l'ordine cambia il risultato e quindi la composizione non è commutativa. La funzione inversa f⁻¹ esiste solo se f è biettiva e soddisfa la relazione f⁻¹(f(x)) = x; il suo grafico è il simmetrico di quello di f rispetto alla bisettrice y = x. Tra le funzioni notevoli ricordiamo l'esponenziale aˣ con base a > 0 e a ≠ 1, sempre positiva e crescente se a > 1, e il logaritmo logₐ(x), sua inversa, definito solo per x > 0. In particolare il logaritmo naturale ln(x), che ha per base il numero di Eulero e ≈ 2,718, gode di due proprietà fondamentali: ln(1) = 0 perché e elevato a zero dà 1, e ln(e) = 1 perché e elevato a 1 dà e stesso. Queste relazioni si usano costantemente in fisica, biologia ed economia per descrivere fenomeni di crescita e decadimento, come il numero di batteri in una coltura o il valore residuo di un investimento.
Ricorda
- Una funzione associa a ogni x del dominio un unico valore f(x); il dominio si trova escludendo denominatori nulli, radicandi negativi di indice pari e argomenti non positivi del logaritmo.
- Una funzione è iniettiva se valori diversi danno immagini diverse, suriettiva se copre tutto il codominio, biettiva se vale entrambe le condizioni: solo le biettive sono invertibili.
- Pari significa f(−x) = f(x), dispari significa f(−x) = −f(x); crescente significa che al crescere di x cresce anche f(x), decrescente il contrario.
- La composizione (g ∘ f)(x) = g(f(x)) non è in generale commutativa; l'inversa di una funzione biettiva si ottiene scambiando x e y e risolvendo rispetto a y.
- Per il logaritmo naturale valgono ln(1) = 0 e ln(e) = 1, mentre il dominio è (0; +∞) e l'immagine è tutto ℝ.
Piccolo esercizio di verifica: sul tuo quaderno, scrivi il dominio della funzione f(x) = ln(x − 3) + 1/√(7 − x), poi verifica se la funzione g(x) = x⁴ − 2x² è pari, dispari o nessuna delle due. Infine, calcola (g ∘ f)(0) e (f ∘ g)(2) per f(x) = 3x − 1 e g(x) = x² + 4.