Una funzione è un legame ordinato fra due insiemi: a ogni ingresso corrisponde una sola uscita. Studiare le sue proprietà significa scoprire come si comporta, dove vive e come la si può invertire.
Introduzione
Le funzioni accompagnano moltissime esperienze quotidiane: quando saliamo su un autobus e paghiamo un biglietto in base alla distanza, oppure quando un'app del meteo mostra la temperatura ora per ora, stiamo osservando relazioni precise tra grandezze. In matematica chiamiamo funzione un legame che a ogni elemento di un insieme di partenza associa uno e un solo elemento di un insieme di arrivo. Studiare le funzioni significa imparare a riconoscere queste relazioni, descriverle con simboli e analizzarne il comportamento generale. In questa lezione esploreremo a fondo cosa rende una corrispondenza una vera funzione e quali proprietà ci aiutano a classificarla con cura. Vedremo dominio e codominio, iniettività, suriettività, monotonia, parità, periodicità, composizione e inversa. Concluderemo con uno sguardo alle funzioni esponenziale e logaritmica, due strumenti potenti che incontrerete spesso nei prossimi anni di studio.
Che cos'è una funzione
Una funzione è una corrispondenza che, dato un insieme di partenza A chiamato dominio e un insieme di arrivo B chiamato codominio, associa a ogni elemento di A esattamente un elemento di B. Si scrive nella forma f: A → B e si legge brevemente come 'f da A in B'. La regola di univocità è cruciale: a uno stesso ingresso non possono corrispondere due uscite diverse, altrimenti non parliamo di funzione. Per esempio, immaginiamo una macchina automatica per il caffè in cui ogni pulsante eroga una sola bevanda specifica: questo è un legame funzionale corretto. Un controesempio è invece la lista dei compleanni della classe vista come corrispondenza dal giorno alla persona: se due compagni festeggiano lo stesso giorno, quel giorno avrebbe due immagini diverse. Quando lavoriamo con i numeri reali scriviamo spesso y = f(x), dove x è la variabile indipendente e y la dipendente.
Dominio, codominio e immagine
Il dominio è l'insieme di tutti i valori che possiamo dare in pasto alla funzione senza ottenere operazioni proibite, mentre il codominio è l'insieme in cui la funzione cerca i suoi valori di arrivo. L'immagine, invece, è l'insieme effettivo dei valori prodotti dalla funzione ed è sempre un sottoinsieme del codominio. Per individuare il dominio di una funzione reale dobbiamo escludere ciò che renderebbe l'espressione priva di senso, come divisioni per zero, radici di indice pari di numeri negativi o logaritmi di argomenti non positivi. Per esempio, la funzione h(x) = 1/(x − 3) ha dominio formato da tutti i numeri reali tranne 3, perché in quel punto il denominatore si annullerebbe. La funzione k(x) = √(x + 7) richiede invece x + 7 ≥ 0, quindi il dominio è l'insieme degli x ≥ −7. L'immagine di k, infine, è l'insieme dei numeri reali non negativi, perché una radice quadrata non produce mai un valore negativo.
Iniettività, suriettività, biettività
Tra le proprietà più importanti di una funzione troviamo l'iniettività, la suriettività e la biettività, che descrivono come gli elementi del dominio si distribuiscono su quelli del codominio. Una funzione è iniettiva se elementi diversi del dominio hanno immagini sempre diverse, cioè se da f(x₁) = f(x₂) si deduce necessariamente x₁ = x₂. È suriettiva se ogni elemento del codominio viene raggiunto da almeno un elemento del dominio, vale a dire se l'immagine coincide con il codominio stesso. Una funzione che è insieme iniettiva e suriettiva si dice biiettiva e ammette sempre un'inversa che riporta ogni uscita alla propria entrata originale. Immaginiamo un guardaroba teatrale che assegna a ciascun cappotto un numero unico: la corrispondenza cappotto → numero è chiaramente iniettiva. Invece, se in una pizzeria ogni pizza del menù viene effettivamente ordinata almeno una volta nella serata, la corrispondenza ordini → menù è suriettiva.
Monotonia: crescenza e decrescenza
Una funzione si dice crescente in un intervallo quando, scelti due valori x₁ < x₂ nell'intervallo, risulta f(x₁) ≤ f(x₂); è strettamente crescente quando la disuguaglianza è rigorosa. In modo simmetrico, una funzione è decrescente se a valori crescenti della variabile corrispondono valori non crescenti della funzione. La monotonia è una proprietà locale: una stessa funzione può crescere in un tratto e decrescere in un altro, come accade a una parabola con concavità verso l'alto. Pensiamo al saldo di un conto in banca durante il mese: se ogni giorno spendiamo qualcosa e non riceviamo entrate, la funzione 'saldo nel tempo' è strettamente decrescente. Al contrario, l'altezza di una pianta nei primi mesi di vita tende a essere strettamente crescente, perché ogni misurazione successiva supera quella precedente. Le funzioni strettamente monotone sono sempre iniettive, una proprietà che torna utilissima quando dobbiamo invertirle.
Funzioni pari, dispari e periodiche
Alcune funzioni mostrano simmetrie particolari rispetto agli assi cartesiani: una funzione è pari se f(−x) = f(x), e in tal caso il suo grafico risulta simmetrico rispetto all'asse delle ordinate. È dispari, invece, se f(−x) = −f(x), e allora il grafico è simmetrico rispetto all'origine degli assi cartesiani. La funzione f(x) = x⁴ è un classico esempio di funzione pari, mentre la funzione f(x) = x⁵ è dispari per ogni valore reale. Esistono poi le funzioni periodiche, che si ripetono identiche dopo un certo intervallo chiamato periodo: per la funzione seno il periodo vale 2π, perché sin(x + 2π) = sin(x). Un esempio concreto di periodicità è la successione delle fasi lunari, che si ripetono con regolarità ogni circa ventinove giorni e mezzo. Riconoscere queste simmetrie aiuta enormemente a disegnare i grafici, perché basta studiare metà funzione o un solo periodo per averla tutta sotto controllo.
Composizione e funzione inversa
Componiamo due funzioni quando applichiamo prima una e poi l'altra: date f: A → B e g: B → C, la funzione composta g∘f è definita dalla regola (g∘f)(x) = g(f(x)). La composizione non è in generale commutativa, perché scambiando l'ordine delle due funzioni si ottengono risultati diversi. Per esempio, se f(x) = x + 2 e g(x) = x², allora g(f(x)) = (x + 2)², mentre f(g(x)) = x² + 2 e le due espressioni non coincidono. La funzione inversa di una funzione biiettiva f, indicata con il simbolo f⁻¹, è la funzione che annulla l'effetto di f, ossia soddisfa f⁻¹(f(x)) = x. Pensiamo alla relazione tra una traduzione dall'italiano all'inglese e la traduzione inversa: se entrambe sono fedeli, applicandole in sequenza ritorniamo esattamente al testo iniziale. Graficamente, il grafico di f⁻¹ si ottiene riflettendo quello di f rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante.
Esponenziale e logaritmo naturale
La funzione esponenziale di base e, scritta f(x) = eˣ, è una delle più importanti di tutta la matematica: è strettamente crescente, ha come dominio l'insieme dei numeri reali e come immagine i numeri reali positivi. La sua inversa è la funzione logaritmo naturale, indicata con ln(x), che ha dominio uguale ai reali positivi e immagine pari a tutti i reali. Trattandosi di una vera inversa, valgono le relazioni eˡⁿ⁽ˣ⁾ = x per ogni x positivo e ln(eˣ) = x per ogni x reale, senza eccezioni. Da queste discendono due valori notevoli da ricordare a memoria: ln(1) = 0, perché e elevato a zero dà uno, e ln(e) = 1, perché e elevato a uno dà e stesso. Pensiamo all'interesse composto in banca: il capitale cresce esponenzialmente nel tempo, e per sapere dopo quanti anni raddoppierà usiamo proprio il logaritmo. Allo stesso modo, la scala Richter dei terremoti è logaritmica, e ogni grado in più corrisponde a un'ampiezza dieci volte maggiore della precedente.
Ricorda
Punti chiave da fissare:
- Una funzione associa a ogni elemento del dominio uno e un solo elemento del codominio.
- Il dominio si trova escludendo i valori che rendono impossibili le operazioni indicate.
- Iniettività, suriettività e biettività descrivono il modo in cui i valori vengono raggiunti.
- La monotonia stretta implica l'iniettività e dunque l'invertibilità in quel tratto.
- Le funzioni pari sono simmetriche rispetto all'asse y, quelle dispari rispetto all'origine.
- La composizione non è commutativa e l'inversa esiste solo per funzioni biiettive.
- Vale ln(1) = 0 e ln(e) = 1, due valori notevoli del logaritmo naturale.
Esercizio di verifica da svolgere sul quaderno: considera la funzione f(x) = √(9 − x). Determina il dominio e l'immagine, stabilisci se è crescente o decrescente, scrivi la sua funzione inversa e traccia un grafico qualitativo. Calcola poi f(5) e f(0), verifica se la composizione f(f(x)) ha senso e, in caso affermativo, scrivine l'espressione.