Risolvi i seguenti esercizi sul quaderno, motivando i passaggi quando richiesto. Per ogni esercizio rileggi attentamente la consegna prima di rispondere e ricorda di indicare sempre le condizioni di esistenza dove servono.
- Quale fra le seguenti corrispondenze è una funzione da R in R?
- A) A ogni numero reale x si associa la sua radice quadrata.
- B) A ogni numero reale x si associa il suo doppio aumentato di uno.
- C) A ogni numero reale x si associano tutti i numeri minori di x.
- D) A ogni numero reale x si associano i due numeri di cui x è la metà e il triplo.
- In una funzione è possibile che due elementi diversi del dominio abbiano la stessa immagine.
- Vero / Falso
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Il dominio della funzione f(x) = √(x − 4) è l'insieme degli x tali che x ___ 4.
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Qual è il dominio della funzione f(x) = ln(x + 2)?
- A) x > −2
- B) x ≥ −2
- C) x < −2
- D) Tutto R
- Una funzione strettamente decrescente in tutto il suo dominio è necessariamente iniettiva.
- Vero / Falso
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Collega ciascuna proprietà alla sua definizione corretta. | Colonna A | Colonna B | |---|---| | Iniettiva | Ogni elemento del codominio è raggiunto | | Suriettiva | Soddisfa f(−x) = f(x) | | Pari | Soddisfa f(−x) = −f(x) | | Dispari | Elementi diversi hanno immagini diverse |
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Determina il dominio della funzione f(x) = (x + 1)/(x² − 9).
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Per il logaritmo naturale valgono i due valori notevoli ln(1) = ___ e ln(e) = ___ (inserisci i valori separati da una virgola).
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La funzione f(x) = x² − 4 è:
- A) Pari
- B) Dispari
- C) Né pari né dispari
- D) Periodica
- La composizione di funzioni è sempre commutativa, cioè f∘g coincide sempre con g∘f.
- Vero / Falso
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Date f(x) = 2x − 3 e g(x) = x², calcola sia f(g(x)) sia g(f(x)) e mostra che sono diverse.
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Determina il dominio della funzione f(x) = √(x − 1)/(x − 5).
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Una funzione f: A → B è biiettiva quando:
- A) È solo iniettiva
- B) È solo suriettiva
- C) È iniettiva e suriettiva
- D) È crescente in tutto il dominio
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Il grafico della funzione inversa f⁻¹ è simmetrico al grafico di f rispetto alla bisettrice del ___ e terzo quadrante.
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Abbina ciascuna funzione alla proprietà di simmetria corrispondente. | Colonna A | Colonna B | |---|---| | f(x) = x³ | Pari | | f(x) = cos(x) | Né pari né dispari | | f(x) = x + 1 | Pari | | f(x) = |x| | Dispari |
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Se una funzione è strettamente crescente in tutto il dominio, allora ammette sempre funzione inversa.
- Vero / Falso
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Stabilisci se la funzione f(x) = x³ − 2x è pari, dispari oppure né l'una né l'altra, giustificando la risposta.
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Data la funzione f(x) = 3x − 6, dimostra che è biiettiva da R in R e determina la sua funzione inversa.
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Descrivi con parole tue un esempio di fenomeno periodico tratto dalla vita quotidiana e indica qualitativamente quale potrebbe essere il suo periodo.
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Quale è l'immagine della funzione f(x) = x² definita su tutto R?
- A) Tutto R
- B) I numeri reali positivi (x > 0)
- C) I numeri reali non negativi (x ≥ 0)
- D) I numeri reali negativi
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Calcola, utilizzando le proprietà del logaritmo naturale, il valore di ln(1) + ln(e) + ln(e²).
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Studia la monotonia della funzione f(x) = −2x + 5 e stabilisci se è iniettiva sull'intero asse reale.
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Date f(x) = x + 4 e g(x) = 3x, la composizione (f∘g)(x) vale ___ .
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Considera la funzione f(x) = ln(x − 1). Determina il dominio, stabilisci se è crescente o decrescente, individua eventuali intersezioni con l'asse x e descrivi l'andamento del grafico spiegando il ruolo di ln(1) nel risultato.