In breve: una disequazione di secondo grado chiede di trovare tutti i valori di x per cui un trinomio del tipo ax²+bx+c assume segno positivo, negativo o nullo.
Quando passiamo dalle equazioni alle disequazioni cambia profondamente la natura della domanda matematica che ci stiamo ponendo. Nelle equazioni cerchiamo singoli valori che rendano vera una uguaglianza, mentre nelle disequazioni dobbiamo determinare interi insiemi di numeri reali che soddisfino una disuguaglianza. Una disequazione di secondo grado si presenta nella forma ax²+bx+c>0, oppure con i simboli <, ≥, ≤, dove il coefficiente a deve essere diverso da zero. La strategia risolutiva si fonda su una idea geometrica molto potente: studiare il segno del trinomio significa osservare dove si trova la parabola di equazione y=ax²+bx+c rispetto all'asse delle ascisse. Questo collegamento tra algebra e geometria analitica trasforma un problema astratto in una lettura visiva del piano cartesiano. Imparare a muoversi con sicurezza tra queste due rappresentazioni è l'obiettivo principale del nostro percorso.
Il metodo della parabola e il ruolo del discriminante
Per risolvere una disequazione di secondo grado conviene sempre ricondursi alla forma con il coefficiente di x² positivo, eventualmente cambiando i segni e invertendo il verso della disuguaglianza. Successivamente si calcola il discriminante Δ=b²-4ac, che ci dice quante volte la parabola interseca l'asse x e quindi quanti zeri possiede il trinomio. Quando Δ>0 esistono due soluzioni distinte x₁ e x₂ dell'equazione associata e la parabola taglia l'asse in due punti ben separati. Se Δ=0 la parabola è tangente all'asse delle ascisse in un unico punto, mentre se Δ<0 la parabola sta interamente sopra l'asse e il trinomio non si annulla mai. Una volta tracciato lo schema della parabola con la concavità verso l'alto, leggiamo le soluzioni applicando una regola semplicissima e infallibile. Per il segno positivo prendiamo i valori esterni alle radici, per il segno negativo quelli interni, ricordando di includere o escludere gli estremi secondo il simbolo di disuguaglianza presente.
I casi particolari e l'interpretazione delle soluzioni
I casi con discriminante nullo o negativo meritano un'attenzione speciale perché spesso confondono gli studenti che si affidano meccanicamente alla formula. Consideriamo ad esempio la disequazione x²-6x+10>0: il discriminante vale 36-40=-4, quindi è negativo e la parabola sta tutta sopra l'asse x. Di conseguenza il trinomio è sempre positivo e la disequazione risulta verificata per ogni numero reale, mentre la corrispondente con il segno < non avrebbe alcuna soluzione. Quando invece il discriminante è zero, la parabola tocca l'asse in un solo punto x₀ e dobbiamo distinguere bene tra disuguaglianze strette e non strette. La disequazione x²-4x+4≥0 è soddisfatta da ogni x reale, mentre x²-4x+4>0 esclude soltanto il valore x=2 dove la tangenza avviene. Questi casi limite ci insegnano che la matematica richiede sempre una lettura attenta dei simboli e una verifica del significato geometrico prima di scrivere la risposta finale.
Ricorda
- Riconduciti sempre al coefficiente a>0 e calcola il discriminante prima di tracciare la parabola di riferimento.
- Con Δ>0 le soluzioni della disequazione con segno positivo sono i valori esterni alle radici, quelle con segno negativo sono i valori interni.
- Quando Δ≤0 verifica se il trinomio è sempre positivo, sempre negativo o nullo in un punto, e leggi le soluzioni con attenzione al verso.
- Verifica attiva sul quaderno: risolvi 2x²-7x+3≤0 calcolando il discriminante, trovando le due radici e scrivendo correttamente l'insieme delle soluzioni con le parentesi giuste.